[行列解析5.6.1]定義：誘導される行列ノルム

5.6.1

定義 5.6.1. \(\mathbb{C}^n\) 上のノルムを \(\|\cdot\|\) とする。行列空間 \(M_n\) 上に次のように定義された関数 \(\|\!|\cdot\|\!|\) を考える。

\|\!|A\|\!| = \max_{\|x\|=1} \|Ax\|

演習. (5.6.1) で定義された関数は、次のような同値な形で計算できることを示せ。

\|\!|A\|\!| \\ = \max_{\|x\|\leq 1} \|Ax\| \\ = \max_{x \neq 0} \frac{\|Ax\|}{\|x\|} \\ = \max_{\|x\|_\alpha = 1} \frac{\|Ax\|}{\|x\|}

ここで、\(\|\cdot\|_\alpha\) は \(\mathbb{C}^n\) 上に与えられた任意のノルムを表す。