[行列解析5.6]行列ノルム

5.6 行列ノルム（Matrix Norms）

行列空間 \(M_n\) は次元 \(n^2\) のベクトル空間であるため、任意のノルムを \( \mathbb{C}^{n^2} \) 上に定義することで行列の「大きさ」を測ることができます。しかし、\(M_n\) は単なる高次元ベクトル空間ではなく、自然な行列積の演算を持ちます。そのため、積 \(AB\) の「大きさ」と \(A\)、\(B\) の「大きさ」とを関連づけて見積もることがしばしば有用です。

写像 \( \| \cdot \| : M_n \to \mathbb{R} \) が行列ノルムであるとは、任意の \(A, B \in M_n\) について次の5つの公理を満たすときに言います。

(1) \(\|A\| \geq 0\) （非負性）

(1a) \(\|A\| = 0 \iff A = 0\) （正定性）

(2) \(\|cA\| = |c| \|A\|\) ただし \(c \in \mathbb{C}\) （斉次性）

(3) \(\|A + B\| \leq \|A\| + \|B\|\) （三角不等式）

(4) \(\|AB\| \leq \|A\| \|B\|\) （劣乗法性）

行列ノルムは「環ノルム」と呼ばれることもあります。最初の4つの性質は、通常のノルムの公理 (5.1.1) と同一です。

ただし、性質 (4) をすべての \(A, B\) について満たさないものは「行列に対するベクトルノルム」と呼ばれ、一般化行列ノルムとも言います。

また、(1a) を省略することで行列半ノルムや一般化行列半ノルムも定義されます。

任意の行列ノルムについて、

\|A^2\| = \|AA\| \leq \|A\|\|A\| = \|A\|^2

が成り立ちます。したがって、もし \(A^2 = A\) かつ \(A \neq 0\) ならば、\(\|A\| \geq 1\) です。特に、単位行列 \(I\) に対しては \(\|I\| \geq 1\) となります。

もし \(A\) が正則であれば、\(I = AA^{-1}\) なので、

\|I\| = \|AA^{-1}\| \leq \|A\|\|A^{-1}\|

よって次の下界が得られます。

\|A^{-1}\| \geq \frac{\|I\|}{\|A\|}

これは任意の行列ノルムについて成り立ちます。

演習. もし \(\|\cdot\|\) が行列ノルムならば、任意の \(A \in M_n\) と \(k = 1,2,\dots\) に対して \(\|A^k\| \leq \|A\|^k\) を示しなさい。また、この不等式が成り立たないノルムの例を挙げなさい。

(5.2) で導入したいくつかのノルムは \(M_n\) に適用したとき行列ノルムとなりますが、そうでないものもあります。最もよく知られた例は、\(p = 1, 2, \infty\) の \(l_p\)-ノルムです。これらはすでにノルムであることが知られているため、確認が必要なのは公理 (4) のみです。

例1.

\(A \in M_n\) に対して定義される \(l_1\)-ノルム

\|A\|_1 = \sum_{i,j=1}^n |a_{ij}|

は行列ノルムです。なぜなら、

\|AB\|_1 = \sum_{i,j=1}^n \left| \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj} \right| \leq \sum_{i,j,k=1}^n |a_{ik} b_{kj}| \leq \sum_{i,k=1}^n |a_{ik}| \sum_{j,m=1}^n |b_{mj}| = \|A\|_1 \|B\|_1

最初の不等式は三角不等式から、次の不等式は和に項を追加することから得られます。

例2.

\(l_2\)-ノルム（フロベニウスノルム、シュールノルム、ヒルベルト–シュミットノルム）は、次で定義されます。

\|A\|_2 = \left( \operatorname{tr}(AA^*) \right)^{1/2} = \left( \sum_{i,j=1}^n |a_{ij}|^2 \right)^{1/2}

これも行列ノルムであり、次が成り立ちます。

\|AB\|_2^2 = \sum_{i,j=1}^n \left| \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj} \right|^2 \leq \sum_{i,j=1}^n \left( \sum_{k=1}^n |a_{ik}|^2 \right) \left( \sum_{m=1}^n |b_{mj}|^2 \right) = \|A\|_2^2 \|B\|_2^2

フロベニウスノルムは絶対ノルムであり、\(A\) を \(\mathbb{C}^{n^2}\) のベクトルとみなしたときのユークリッドノルムと一致します。また、\(\operatorname{tr}(AA^*)\) は \(AA^*\) の固有値の総和ですが、それらは \(A\) の特異値の二乗に等しいため、フロベニウスノルムは次のようにも表されます。

\|A\|_2 = \left( \sigma_1(A)^2 + \cdots + \sigma_n(A)^2 \right)^{1/2}

ここで、特異値 \(\sigma_i(A)\) は \(A^*\) と同じ特異値を持ち、また \(A\) のユニタリ同値変換に対して不変です。したがって、任意のユニタリ行列 \(U, V \in M_n\) に対して

\|A\|_2 = \|A^*\|_2 = \|UAV\|_2

演習. 特異値の性質を用いずに、定義 \(\|A\|_2 = (\operatorname{tr}(AA^*))^{1/2}\) から上の二つの恒等式を証明しなさい。

例3.

例として、行列 \(A = [a_1 \ \dots \ a_n] \in M_n\) をその列ごとに分割し、次のように定義します。

N_\infty(A) = \sum_{j=1}^n \|a_j\|_\infty

この \(N_\infty(\cdot)\) がノルムであることは確認できます。さらに、\(B = [b_{ij}] = [b_1 \ \dots \ b_n] \in M_n\) とすると、次の計算から \(N_\infty(\cdot)\) が行列ノルムであることが示されます。

N_\infty(AB) \\ = \sum_{j=1}^n \|Ab_j\|_\infty \\ = \sum_{j=1}^n \left\| \sum_{k=1}^n a_k b_{kj} \right\|_\infty \\ \leq \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n \|a_k b_{kj}\|_\infty \\ = \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n \|a_k\|_\infty |b_{kj}| \\ \leq \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n \|a_k\|_\infty \|b_j\|_\infty \\ = \left( \sum_{k=1}^n \|a_k\|_\infty \right) \left( \sum_{j=1}^n \|b_j\|_\infty \right) \\ = N_\infty(A) N_\infty(B)

このようにして、\(N_\infty(\cdot)\) が行列ノルムであることが確認されます。構造的な証明については (5.6.40) およびその後の演習問題を参照してください。

さらに、各ノルム \(\|\cdot\|\)（ベクトル空間 \(\mathbb{C}^n\) 上のノルム）に対応して、それに「誘導された」行列ノルム \(\|\cdot\|\| \) を次の定義に従って \(M_n\) 上に構成することができます。

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[行列解析5.6]行列ノルム

目次

5.6 行列ノルム（Matrix Norms）

例1.

例2.

例3.

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