[行列解析5.5]問題集

5.5.問題集

5.5.P1

ノルム付き線形空間において、集合が閉じているのは、それがすべての極限点を含む場合であることを示せ。

5.5.P2

ノルム付き線形空間における集合 \(S\) の各点は \(S\) の極限点であることを示せ。したがって、\(S\) の閉包は \(S\) の極限点の集合に等しいことを示せ。

5.5.P3

ノルム付き線形空間において、開かつ閉である集合の例を挙げよ。また、開でも閉でもない集合の例を挙げよ。

5.5.P4

\(V\) を実または複素のベクトル空間とし、\(\|\cdot\|\) をそのノルムとする。集合 \(S\) がコンパクトであるとき、\(S\) が閉かつ有界であることを示せ。さらに、与えられた無限列 \(\{x_{\alpha}\} \subset S\) に対して、可算部分列 \(\{x_{\alpha_i}\} \subset \{x_{\alpha}\}\) と \(x \in S\) が存在して、

\lim_{i \to \infty} x_{\alpha_i} = x

が成立することを示せ。また、コンパクト集合の閉部分集合はコンパクトであることを示せ。

5.5.P5

(5.5.8) において、\(\dim V = 0\) の場合はどうなるか。

5.5.P6

\(x = [x_i] \in \mathbb{R}^2\) に対して \(f(x) = |x_2|\) と定義する。このとき、\(f\) が \(\mathbb{R}^2\) 上のセミノルムであることを示せ。また、

B = \{ x \in \mathbb{R}^2 : f(x) \leq 1 \}

を記述せよ。(5.5.8) の条件 (i)〜(iv) のうち、\(B\) が満たさないものはどれか。

5.5.P7

\(\|\cdot\|_{\alpha}\) および \(\|\cdot\|_{\beta}\) をベクトル空間上のノルムとし、

\|x\| = \max \{ \|x\|_{\alpha}, \|x\|_{\beta} \}

と定義されたノルム \(\|\cdot\|\) に対して、

B_{\|\cdot\|} = B_{\|\cdot\|_{\alpha}} \cap B_{\|\cdot\|_{\beta}}

が成り立つことを示せ。

5.5.P8

\(f(\cdot)\) を \(\mathbb{R}^n\) または \(\mathbb{C}^n\) 上のプレノルムとする。このとき、\(f^{DD}(\cdot)\) が \(f(\cdot)\) 以下で一様に最大のノルムであることを示せ。すなわち、任意のノルム \(\|\cdot\|\) がすべての \(x\) に対して \(\|x\| \le f(x)\) を満たすならば、\(\|x\| \le f^{DD}(x)\) がすべての \(x\) に対して成り立つことを示せ。

5.5.P9

\(\|\cdot\|\) を \(\mathbb{F}^n\) (\(\mathbb{R}^n\) または \(\mathbb{C}^n\)) 上の絶対ノルムとし、\(z = [z_i] \in \mathbb{F}^n\) を与えられた非零ベクトルとする。さらに、標準基底ベクトル \(e_i\) (\(i = 1, \dots, n\)) を考える。

(a) なぜ \(\|e_i\| \|e_i\|_D \ge 1\) となるのか説明せよ。

(b) なぜ \(|z_i| \|e_i\| = \| |z_i| e_i \| \le \| |z| \| = \|z\|\) となり、かつ \(\|e_i\|_D = \max_{\|y\|=1} |y_i| \le 1 / \|e_i\|\) が成り立つのか説明せよ。

(d) \(\mathbb{F}^n\) 上のノルム \(\nu(\cdot)\) が標準化されているとは、各 \(i = 1, \dots, n\) に対して \(\nu(e_i) = 1\) となることをいう。このとき、絶対標準化ノルムの双対も絶対標準化ノルムであることを説明せよ。

5.5.P10

\(V = \mathbb{R}^n\) または \(\mathbb{C}^n\) とし、\(k \in \{1, \dots, n\}\) とする。次のノルムを定義せよ：

\|\cdot\|^{(k)} = \max \Big\{ \frac{1}{k} \|\cdot\|_1, \|\cdot\|_\infty \Big\}

これが \(V\) 上のノルムである理由と、その双対ノルムが k-ノルム \(\|\cdot\|^{(k)}_D = \|\cdot\|_{[k]}\) である理由を説明せよ。また、(5.5.P7) がこのノルムの単位球に関して何を示すかを説明し、\(R^2\) 上で 2 つの k-ノルムの交差性を図示せよ。

5.5.P11

\(\|\cdot\|\) を \(\mathbb{F}^n\) 上の弱単調ノルムとする：

\|[x_1 \dots x_{k-1} 0 x_{k+1} \dots x_n]^T\| \le \|[x_1 \dots x_{k-1} x_k x_{k+1} \dots x_n]^T\|

すべての \(x \in \mathbb{F}^n\) および \(k = 1, \dots, n\) に対して。次の事項について説明せよ：

(a) なぜこの条件は、(5.4.19(c)) の証明で現れたより強い条件：

\|[\alpha_1 x_1 \dots \alpha_n x_n]^T\| \le \|x\|

を満たすのか説明せよ。ここで \(\alpha_k \in [0,1]\) である。弱単調ノルムの単位球上の点の座標の一つをゼロに縮小すると、その線分全体が単位球内に含まれることを説明せよ。また、単調ノルムは弱単調であることを説明せよ。

(b) 頂点が \(\pm[2,2]^T\) および \(\pm[1,-1]^T\) の平行四辺形が、R2 上の弱単調でないノルムの単位球であることを示せ。

(d) x = [x1 x2]^T が絶対ノルムの単位球の境界上の点であれば、[±x1 ± x2]^T も単位球上にある。これを図示し、R2 上で絶対でないノルムの単位球を示せ。Rn ではどうなるか？

(e) 頂点が ±[0,1]^T、±[1,0]^T、±[1,1]^T の R2 上の多角形をスケッチせよ。これが Rn 上の弱単調だが単調でない（したがって絶対でもない）ノルムの単位球である理由を説明せよ。

参考文献：

ノルムの幾何学的側面についての詳細は Householder (1964) を参照せよ。双対定理の証明で用いたアイデア（ノルムまたはプレノルムの二重双対の単位球を、その単位球を含む全ての半空間の交差として同定すること）は、von Neumann によっても使用されている。(5.4) の最後の引用を参照。凸集合、凸包、半空間の詳細な議論については Valentine (1964) を参照せよ。