[行列解析5.5.9]双対定理（Duality Theorem）

5.5.9

定理 5.5.9（双対定理）. \(V = \mathbb{R}^n\) または \(\mathbb{C}^n\) 上のプレノルム \(f\) を考える。\(f^D\) を \(f\) の双対ノルム、\(f^{DD}\) を \(f^D\) の双対ノルムとし、さらに次の集合を定義する：

B = \{ x \in V : f(x) \leq 1 \}, \quad B^{DD} = \{ x \in V : f^{DD}(x) \leq 1 \}

このとき次が成り立つ：

(a) 任意の \(x \in V\) に対して \(f^{DD}(x) \leq f(x)\)。したがって \(B \subseteq B^{DD}\)。

(b) \(B^{DD} = \mathrm{Co}(B)\)、すなわち \(B\) の凸包の閉包である。

(d) \(f\) がノルムであり、ある \(x_{0} \in V\) が与えられたとき、ある（必ずしも一意ではない）\(z \in V\) が存在して、\(f^D(z) = 1\) かつ \(f(x_{0}) = z^{*}x_{0}\) を満たす。つまり、任意の \(x \in V\) に対して \(|z^{*}x| \leq f(x)\) かつ \(f(x_{0}) = z^{*}x_{0}\) が成り立つ。

証明

(a) \(x \in V\) を与えると、式 (5.4.13) より任意の \(y \in V\) に対して

|y^{*}x| \leq f(x) f^D(y)

が成り立つ。したがって

f^{DD}(x) = \max_{f^D(y)=1} |y^{*}x| \leq \max_{f^D(y)=1} f(x) f^D(y) = f(x)

よって \(f^{DD}(x) \leq f(x)\)。これは幾何学的には \(B \subseteq B^{DD}\) を意味する。

(b) 集合 \(\{t \in V : \Re(t^{*}v) \leq 1\}\) は原点を含む閉じた半空間であり、この形で全ての閉半空間を表現できる。双対ノルムの定義を用いると、もし \(u \in B^{DD}\) であれば

u \in \{ t : \Re(t^{*}v) \leq 1 \;\; \text{for all } v \text{ with } f^D(v) \leq 1 \}

が成り立つ。変形により、これは「\(u\) は \(B\) を含むすべての閉半空間に含まれる」ことを意味する。したがって \(u \in \mathrm{Co}(B)\)。任意の \(u \in B^{DD}\) がこれを満たすので \(B^{DD} \subseteq \mathrm{Co}(B)\)。逆に、\(\mathrm{Co}(B)\) は \(B\) を含むすべての凸集合の共通部分であり、\(B^{DD}\) は \(B\) を含む凸集合なので \(\mathrm{Co}(B) \subseteq B^{DD}\)。さらに \(B^{DD}\) はノルムの単位球なので閉かつコンパクトであり、\(\mathrm{Co}(B)\) も閉である。結論として \(B^{DD} = \mathrm{Co}(B)\)。

(d) 任意の \(x_{0} \in V\) に対して、(c) より

f(x_{0}) = \max_{f^D(y)=1} \Re(y^{*}x_{0})

が成り立つ。さらに \(f^D\) の単位球はコンパクトなので、ある \(z\) が存在して

f^D(z) = 1, \quad f(x_{0}) = \Re(z^{*}x_{0})

を満たす。もし \(z^{*}x_{0}\) が実数かつ非負でなければ、ある実数 \(\theta\) によって \(\Re(e^{-i\theta} z^{*}x_{0}) > \Re(z^{*}x_{0})\) を満たすことができる。しかし \(f^D(e^{i\theta}z) = f^D(z) = 1\) なのでこれは最大性に矛盾する。したがって \(z\) は所望の条件を満たす。

特に (c) の主張「任意のノルム \(f\) に対して \(f^{DD} = f\)」は双対定理における最も重要かつ有用な部分である。例えば、この性質により任意のノルム \(f\) は次のように表現できる：