5.5.8
定理 5.5.8. 正の次元をもつ有限次元の実または複素ベクトル空間 \(V\) における集合 \(B\) がノルムの単位球であるのは、次の条件をすべて満たす場合、かつその場合に限る：(i) \(B\) はコンパクトである、(ii) \(B\) は凸である、(iii) \(B\) は平衡である、(iv) \(0\) を内部点にもつ。
証明. 条件 (i)–(iv) が必要であることはすでに確認済みである。十分性を示すために、任意の 0 でない点 \(x \in V\) を考える。原点から \(x\) に向かう半直線区間 \(\{\alpha x : 0 \leq \alpha \leq 1\}\) を構成し、原点から単位球の境界上の一意な点までの距離を 1 としたとき、その比例距離を \(x\) の「長さ」と定義する。すなわち、\(\lVert x \rVert\) を次のように定義する：
\lVert x \rVert =
\begin{cases}
0, & x = 0, \\
\min \{ 1/t : t \gt 0 \ \text{かつ}\ tx \in B \}, & x \neq 0
\end{cases}
集合 \(B\) がコンパクトであり、かつ \(0\) を内部点にもつため、この関数は任意の非零ベクトル \(x\) に対して well-defined であり、有限かつ正である。さらに、平衡性の仮定より、\(\lVert \cdot \rVert\) は斉次関数である。したがって残るは三角不等式を確認することである。
非零ベクトル \(x, y\) を与えると、\(x / \lVert x \rVert\) および \(y / \lVert y \rVert\) は \(B\) に含まれる単位ベクトルである。凸性より、次のベクトル
z =
\frac{\lVert x \rVert}{\lVert x \rVert + \lVert y \rVert} \cdot \frac{x}{\lVert x \rVert}
+ \frac{\lVert y \rVert}{\lVert x \rVert + \lVert y \rVert} \cdot \frac{y}{\lVert y \rVert}
もまた \(B\) に含まれる。したがって \(\lVert z \rVert \leq 1\) であり、これにより \(\lVert x + y \rVert \leq \lVert x \rVert + \lVert y \rVert\) が成立する。∎
練習問題. 定理 (5.5.8) の証明の詳細を補い、それぞれの仮定がどこで用いられているかを注意深く確認せよ。
ノルムの単位球の凸性は、非常に深く、時には驚くべき含意をもつ事実である。その一つが次に述べる双対性定理であり、これはプレノルムの文脈で述べられる。この定理に含まれる主要な考え方は非常に自然である（付録 B 参照）： (a) \(\mathrm{Co}(S)\)、すなわち \(\mathbb{R}^n\) または \(\mathbb{C}^n\) における集合 \(S\) の凸包は、\(S\) を含む最小の凸集合であり、すなわち \(S\) を含むすべての凸集合の共通部分である。(b) \(\overline{\mathrm{Co}(S)}\)、すなわち \(S\) の凸包の閉包は、\(S\) を含むすべての閉じた半空間（超平面の片側の全体）の共通部分である。(c) もし点 \(x\) が \(S\) を含むすべての閉じた半空間に含まれるなら、そのとき \(x \in \overline{\mathrm{Co}(S)}\) である。
これらの幾何学的概念から、任意のノルムはその双対ノルムの双対であるという重要な事実が直接導かれる。
行列解析の総本山
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