[行列解析5.4.13]プレノルムの双対ノルムと一般化されたコーシー–シュワルツ不等式

5.4.13

補題 5.4.13. \( V = F^n \)（\( F = \mathbb{R} \) または \( \mathbb{C} \)）上のプレノルム \( f(\cdot) \) に対して、任意の \( x, y \in V \) に対して次が成り立つ：

|y^* x| \le f(x) f^D(y) \\ \quad\text{および}\quad |y^* x| \le f^D(x) f(y)

証明：もし \( x \neq 0 \) ならば、

\frac{|y^* x|}{f(x)} \le \max_{f(z)=1} |y^* z| = f^D(y)

したがって、\(|y^* x| \le f(x) f^D(y)\) が成り立つ。もちろん \( x = 0 \) の場合も同様である。2つ目の不等式は、\(|y^* x| = |x^* y|\) から従う。

いくつかのよく知られたノルムの双対を確認することは有益である。例えば、\( \mathbb{C}^n \) 上のノルム \( \|\cdot\| \) と非特異行列 \( S \in M_n \) が与えられた場合、ノルム \(\|\cdot\|_S\) の双対は次のように計算される：

\|y\|^D_S = \max_{x \neq 0} \frac{|y^* x|}{\|Sx\|} \\= \max_{z \neq 0} \frac{|(S^{-*}y)^* z|}{\|z\|} = \|S^{-*} y\|^D

したがって、\((\|\cdot\|_S)^D = (\|\cdot\|^D)_{S^{-*}}\) となる。

次に \( \mathbb{C}^n \) 上の \(\ell_1\)-および \(\ell_\infty\)-ノルムを考えると、任意の \( x, y \in \mathbb{C}^n \) に対して：

|y^* x| \le \sum_{i=1}^n |y_i x_i| \le (\max_i |y_i|) \sum_j |x_j| \\ = \|y\|_\infty \|x\|_1

同様に、\(\ell_\infty\)-ノルムでは \(\|y\|_1 \|x\|_\infty\) が成立する。よって：

\|y\|_1^D = \|y\|_\infty, \quad \|y\|_\infty^D = \|y\|_1

ユークリッドノルムの場合、任意の非零ベクトル \( y \) と任意の \( x \) に対して、コーシー–シュワルツの不等式より：

|y^* x| \le \|y\|_2 \|x\|_2

この場合、等号は \( x = y / \|y\|_2 \) で成立するので、ユークリッドノルムは自身の双対である。

任意の \( p \ge 1 \) に対して、\(\ell_p\)-ノルムとその双対 \(\ell_q\)-ノルム（\(1/p + 1/q = 1\)）を考える。ホルダーの不等式により：

|y^* x| \le \|x\|_p \|y\|_q

よって、\(\ell_p\)-ノルムの双対は \(\ell_q\)-ノルムであり、双対の双対は元のノルムに戻る。ユークリッドノルムのみが自身の双対であることも特筆すべきである。