[行列解析5.4.11]完備性と関数空間におけるコーシー列の例

5.4.11

定義 5.4.11. ノルム付き線形空間 \( V \) が、そのノルム \(\|\cdot\|\) に関して完備であるとは、\( V \) 内の任意のコーシー列が必ず \( V \) の点に収束することをいう。

演習問題. ベクトル空間 \( C[0,1] \) を \( L^{1} \)-ノルム付きで考える。このとき、関数列 \(\{ f_{k} \}\) を次のように定義する：

f_{k}(t) \\ = \begin{cases} 0, & 0 \leq t \leq \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{k}, \\[6pt] \dfrac{k}{2}\left(t - \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{k}\right), & \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{k} \leq t \leq \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{k}, \\[6pt] 1, & \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{k} \leq t \leq 1. \end{cases}

関数 \( f_{k} \) をスケッチしなさい。このとき、関数列 \(\{ f_{k} \}\) は \( L^{1} \)-ノルムに関してコーシー列であるが、任意の \( f \in C[0,1] \) に対して

\lim_{k \to \infty} f_{k} = f \quad \text{（\( L^{1} \)-ノルムに関して）}

となる関数 \( f \) は存在しないことを示せ。

さらに、任意のノルムやプレノルムにおいて \(\mathbb{R}^{n}\) または \(\mathbb{C}^{n}\) の単位球がコンパクトであることを用い、ユークリッド内積を利用して既存のノルムから新しいノルムを構成する便利な方法を導入できる。