[行列解析5.4.1]ノルム付き線形空間における数列の収束と一意性

5.4.1

定義 5.4.1.

実または複素ベクトル空間 \(V\) にノルム \( \lVert \cdot \rVert \) が与えられているとする。ベクトルの数列 \(\{x^{(k)}\}\) がベクトル \(x \in V\) に収束するとは、次が成り立つときに限りそう言う：

\lim_{k \to \infty} \lVert x^{(k)} - x \rVert = 0

もし \(\{x^{(k)}\}\) が \( \lVert \cdot \rVert \) に関して \(x\) に収束するならば、

\lim_{k \to \infty} x^{(k)} = x \\ \quad (\text{with respect to } \lVert \cdot \rVert)

と書く。

ある数列が、与えられたノルムに関して2つの異なる極限に収束することはありうるだろうか？

練習問題.

もし \(\lim_{k \to \infty} x^{(k)} = x\)、かつ \(\lim_{k \to \infty} x^{(k)} = y\) が \( \lVert \cdot \rVert \) に関して成り立つならば、次を考える：

\lVert x - y \rVert \\ = \lVert (x - x^{(k)}) + (x^{(k)} - y) \rVert

三角不等式を用いることで \(x = y\) を示せる。

したがって、与えられたノルムに関する数列の極限は、存在すれば一意である。

次の問いが生じる：ある数列が一方のノルムに関して収束するが、別のノルムに関しては収束しないということはありうるだろうか？