[行列解析5.2]問題集

5.2.問題集
参考文献.
行列解析の総本山

5.2.問題集

5.2.P1

もし \(0 \lt p \lt 1\) ならば、

\lVert x \rVert_p = \left( |x_1|^p + \cdots + |x_n|^p \right)^{1/p}

は \(\mathbb{C}^n\) 上で定義された関数であり、ノルムの公理のうち1つを除いてすべてを満たします。どの公理が失敗するかを示し、例を挙げなさい。

5.2.P2

各 \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して、

\lVert x \rVert_\infty = \lim_{p \to \infty} \lVert x \rVert_p

であることを示せ。

5.2.P3

\(\mathbb{C}^n\) 上の任意のセミノルムは、あるノルム \(\lVert \cdot \rVert\) とある \( S \in M_n\) によって \(\lVert \cdot \rVert_S\) の形で表されることを示せ。

5.2.P4

正の実数 \( w_1, \ldots, w_n \) が与えられ、\( p \geq 1\) とする。このとき加重 \(\ell_p\)-ノルム

\lVert x \rVert = \left( w_1 |x_1|^p + \cdots + w_n |x_n|^p \right)^{1/p}

が \(\lVert Sx \rVert_p\) の形で表されるような \( S \in M_n\) を求めよ。

5.2.P5

\(x_0 \in [a,b] \subset \mathbb{R}\) を与えられた点とする。このとき関数

\lVert f \rVert_{x_0} = | f(x_0) |

は \(C[a,b]\) 上のセミノルムであるが、\(a \lt b\) の場合にはノルムではないことを示せ。その零化空間（null space）は何か。また、\(\mathbb{C}^n\) 上の類似したセミノルムは何か。

5.2.P6

もし \(\lVert \cdot \rVert\) が \(\mathbb{C}^n\) 上のユニタリ不変ノルムであるならば、任意の \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して

\lVert x \rVert = \lVert x \rVert_2 \lVert e_1 \rVert

が成り立つことを示せ。また、\(\lVert e_1 \rVert = 1\) となる唯一のユニタリ不変ノルムがユークリッドノルムであることを説明せよ。

5.2.P7

\(\lVert \cdot \rVert\) が実または複素ベクトル空間 \(V\) 上のノルムであるとする。

(a) 任意の非零 \(x, y \in V\) に対して、

(5.2.9)

\left\lVert \frac{x}{\lVert x \rVert} - \frac{y}{\lVert y \rVert} \right\rVert \leq c \frac{\lVert x - y \rVert}{\lVert x \rVert + \lVert y \rVert}, \quad \\ c = 4

が成り立つことを示せ。

(b) 和ノルム \(\lVert x \rVert_1\) を \(\mathbb{R}^2\) 上で考え、ベクトル \(x = [1 \ \varepsilon]^T, y = [1 \ 0]^T\) （ただし \(\varepsilon \gt 0\)）を取る。このとき不等式 (5.2.9) が

\frac{2\varepsilon}{1+\varepsilon} \leq \frac{c\varepsilon}{2+\varepsilon}

となることを示し、不等式 (5.2.9) が任意の実または複素ベクトル空間上のすべてのノルムに対して成り立つのは \(c \geq 4\) のとき、かつそのときに限ることを説明せよ。

5.2.P8

\(V\) を実または複素内積空間とし、\(u \in V\) を単位ベクトル（導出されたノルムに関して）とする。任意の \(x \in V\) に対して

x_{\perp u} = x - \langle x, u \rangle u

を定義する。このとき以下を示せ：

(a) \(x_{\perp u}\) は \(u\) に直交し、

\lVert x_{\perp u} \rVert^2 = \lVert x \rVert^2 - |\langle x, u \rangle|^2 \leq \lVert x \rVert^2

(b) 任意のスカラー \(\lambda\) に対して \(\lVert x_{\perp u} \rVert = \lVert (x - \lambda u)_{\perp u} \rVert\)。

\langle x, y \rangle - \langle x, u \rangle \langle u, y \rangle = \langle x_{\perp u}, y_{\perp u} \rangle

が成り立つ。したがって、任意の \(x, y, u \in V\) （ただし \(u\) は単位ベクトル）、および任意のスカラー \(\lambda, \mu\) に対して

(5.2.10)

\left| \langle x, y \rangle - \langle x, u \rangle \langle u, y \rangle \right| \\ \leq \lVert x - \lambda u \rVert \lVert y - \mu u \rVert

が成り立つ。さらに、不等式 (5.2.10) における最適な選択は \(\lambda = \langle x, u \rangle, \mu = \langle y, u \rangle\) であることを説明せよ。ただし、これらが常に最も直感的または便利な選択であるとは限らない。

5.2.P9

\(-\infty \lt a \lt b \lt \infty\) とし、\(V\) を区間 \([a,b]\) 上の連続実数値関数からなる実内積空間（内積 (5.2.8) を持つもの）とする。与えられた \(f,g \in V\) に対して、任意の \(t \in [a,b]\) について \(-\infty \lt \alpha \leq f(t) \leq \beta \lt \infty\)、\(-\infty \lt \gamma \leq g(t) \leq \delta \lt \infty\) が成り立つと仮定する。このとき、不等式 (5.2.10) から次のグルスの不等式を導け：

(5.2.11)

\begin{align} & \left| \begin{aligned} & \frac{1}{b-a} \int_a^b f(t) g(t) \, dt \\ & \: - \frac{1}{(b-a)^2} \int_a^b f(t) \, dt \int_a^b g(t) \, dt \end{aligned} \right| \notag \\ & \leq \frac{(\beta - \alpha)(\delta - \gamma)}{4} \notag \end{align}

5.2.P10　

\(A \in M_n\) の固有値を \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) とする。シュールの不等式 (2.3.2a) が次の形で書ける理由を説明しなさい。

(5.2.12)

\sum_{i=1}^n |\lambda_i|^2 \leq \lVert A \rVert_2^2

また、より強い不等式 (2.6.9) が次の形で書ける理由を説明しなさい。

(5.2.13)

\sum_{i=1}^n |\lambda_i|^2 \\ \leq \lVert A \rVert_4^2 - \lVert AA^{*} - A^{*}A \rVert_2^2

さらに、(2.6.10) のより強い不等式が次の形で書ける理由を説明しなさい。

(5.2.14)

\begin{align} & \sum_{i=1}^n |\lambda_i|^2 \notag \\ & \leq \Bigg( \lVert A \rVert_2^2 - \frac{1}{n}\lvert \langle A, I \rangle_F \rvert^2 \Bigg)^2 \notag \\ & \quad \quad - \lVert AA^{*} - A^{*}A \rVert_2^2 \notag \\ & \quad \quad + \frac{1}{n}\lvert \langle A, I \rangle_F \rvert^2 \notag \end{align}

5.2.P11　

\( \lVert \cdot \rVert \) を実または複素ベクトル空間 \(V\) 上のノルムとし、\(x, y \in V\) を零でないベクトルとする。このとき次を証明しなさい。

(5.2.15)

\lVert x + y \rVert \\ \leq \lVert x \rVert + \lVert y \rVert \\ - \Bigg(2 - \Bigg\lVert \frac{x}{\lVert x \rVert} + \frac{y}{\lVert y \rVert} \Bigg\rVert\Bigg)\min\{\lVert x \rVert, \lVert y \rVert\}

(5.2.16)

\lVert x + y \rVert \\ \geq \lVert x \rVert + \lVert y \rVert \\ - \Bigg(2 - \Bigg\lVert \frac{x}{\lVert x \rVert} + \frac{y}{\lVert y \rVert} \Bigg\rVert\Bigg)\max\{\lVert x \rVert, \lVert y \rVert\}

等号成立は、\(\lVert x \rVert = \lVert y \rVert\) または \(x = cy\)（\(c\) が正の実数）の場合である。

5.2.P12　

前問の記法を用いると、(5.2.15) および (5.2.16) から次を導け。

(5.2.17)

\frac{\lVert x - y \rVert - \lvert \lVert x \rVert - \lVert y \rVert \rvert}{\min\{\lVert x \rVert, \lVert y \rVert\}} \\ \leq \Bigg\lVert \frac{x}{\lVert x \rVert} - \frac{y}{\lVert y \rVert} \Bigg\rVert \\ \leq \frac{\lVert x - y \rVert + \lvert \lVert x \rVert - \lVert y \rVert \rvert}{\max\{\lVert x \rVert, \lVert y \rVert\}}

5.2.P13　

前問の記法を用いると、(5.2.17) の上界は (5.2.9) の上界（最適値 \(c=4\)）以下であることを示せ。

(5.2.18)

\begin{align} & \Bigg\lVert \frac{x}{\lVert x \rVert} - \frac{y}{\lVert y \rVert} \Bigg\rVert \notag \\ & \leq \frac{\lVert x - y \rVert + \lvert \lVert x \rVert - \lVert y \rVert \rvert}{\max\{\lVert x \rVert, \lVert y \rVert\}} \notag \\ & \leq \frac{2 \lVert x - y \rVert}{\max\{\lVert x \rVert, \lVert y \rVert\}} \notag \\ & \leq \frac{4 \lVert x - y \rVert}{\lVert x \rVert + \lVert y \rVert} \notag \end{align}

5.2.P14　

\(A \in M_n\) とし、\(A = H + iK\)（ただし \(H, K\) はエルミート）と分解する（式 (0.2.5) 参照）。フロベニウスノルムにおける \(A\) の最良のエルミート近似、すなわちどのエルミート \(X \in M_n\) に対しても \(\lVert A - X_0 \rVert_2^2 \leq \lVert A - X \rVert_2^2\) を満たす \(X_0\) を求めよ。また最良の半正定値近似についても議論せよ。

(a) \(\lVert A \rVert_2^2 = \lVert H \rVert_2^2 + \lVert K \rVert_2^2\) を示せ。

(b) \(X \in M_n\) がエルミートならば、\(\lVert A - X \rVert_2^2 = \lVert H - X \rVert_2^2 + \lVert K \rVert_2^2 \geq \lVert K \rVert_2^2\) であり、等号成立は \(X = X_0 = H\) のときであることを示せ。

(c) \(H = U \Lambda U^{*}\) とし、\(U\) はユニタリ行列、\(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) とする。\(X\) が半正定値行列であり、\(U^{*}XU = Y = [y_{ij}]\) とするとき、

\begin{align} & \lVert H - X \rVert_2^2 \notag = \lVert \Lambda - Y \rVert_2^2 \notag \\ & = \sum_{i=1}^n (\lambda_i - y_{ii})^2 + \sum_{i \neq j} |y_{ij}|^2 \notag \end{align}

であることを示せ。これが最小化されるのは \(X = X_0 = H^{+}\)（\(H\) の半正定値部分、式 (4.1.12) 参照）のときである理由を述べよ。

参考文献.

ミンコフスキーの不等式やその他の古典的不等式についての詳細な議論は Beckenbach and Bellman (1965) を参照せよ。また、(a) 等号が (5.2.1) において \(c=4\) で成立するのは \(x=y\) の場合に限ること、(b) \(c=2\) で (5.2.1) がすべての非零ベクトル \(x, y\) に対して成り立つことが、ノルムが内積から導かれるための必要十分条件であることの証明については、W. A. Kirk and M. F. Smiley, Another characterization of inner product spaces, Amer. Math. Monthly 71 (1964) 890–891 を参照せよ。