5.1.問題12
5.1.P12
次の証明のスケッチを詳しく示しなさい。すなわち、平行四辺形恒等式 (5.1.9) が、ある実または複素ベクトル空間に与えられたノルムが内積から導かれるための十分条件であることを示す。
まず、実数体 \(\mathbb{R}\) 上のベクトル空間 \(V\) にノルム \( \lVert \cdot \rVert \) が与えられている場合を考える。
(a) 次のように定義する：
\langle x, y \rangle = \tfrac{1}{2} \big( \lVert x+y \rVert^{2} - \lVert x \rVert^{2} - \lVert y \rVert^{2} \big) \tag{5.1.12}
このように定義された \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) が (5.1.3) における公理 (1), (1a), (4) を満たし、さらに \(\langle x, x \rangle = \lVert x \rVert^{2}\) であることを示せ。
(b) (5.1.9) を用いて次を示せ：
4 \langle x, y \rangle + 4 \langle z, y \rangle
= 2 \lVert x+y \rVert^{2} + 2 \lVert z+y \rVert^{2} - 2 \lVert x \rVert^{2} - 2 \lVert z \rVert^{2} - 4 \lVert y \rVert^{2} \\
= \lVert x+2y+z \rVert^{2} - \lVert x+z \rVert^{2} - 4 \lVert y \rVert^{2}
= 4 \langle x+z, y \rangle
これにより、(5.1.3) の加法性の公理 (2) が満たされることを結論づけよ。
(c) 加法性を用いて、任意の非負整数 \(m, n\) に対して \(\langle nx, y \rangle = n \langle x, y \rangle\) および \(\langle -x, y \rangle = -\langle x, y \rangle\) を示せ。さらに、有理数 \(a \in \mathbb{R}\) に対して \(\langle ax, y \rangle = a \langle x, y \rangle\) が成立することを結論づけよ。
(d) 次の多項式を考える：
p(t) = t^{2}\lVert x \rVert^{2} + 2t \langle x, y \rangle + \lVert y \rVert^{2}, \quad t \in \mathbb{R}
有理数 \(t\) に対して \(p(t) = \lVert tx + y \rVert^{2}\) を示せ。多項式 \(p(t)\) の連続性より、すべての \(t \in \mathbb{R}\) に対して \(p(t) \geq 0\) が従う。これにより、判別式が非正であることからコーシー・シュワルツの不等式
|\langle x, y \rangle|^{2} \leq \lVert x \rVert^{2} \lVert y \rVert^{2}
を導け。
(e) 任意の実数 \(a\) に対して、任意の有理数 \(b\) を用いて次を示せ：
|\langle ax, y \rangle - a \langle x, y \rangle| = |(a-b)\langle x, y \rangle + (b-a)\langle x, y \rangle| \\ \leq |(a-b)\langle x, y \rangle| + |(b-a)\langle x, y \rangle| \leq 2|a-b| \lVert x \rVert \lVert y \rVert
上界は任意に小さくできるため、(5.1.3) の斉次性の公理 (3) が満たされることを結論づけよ。したがって \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) は \(V\) 上の内積である。
ここで注目すべきは、上の議論ではノルムの三角不等式 (5.1.1 の公理 (3)) を用いなかったことである。従って、(5.1.1) の (1), (1a), (2) の各公理と平行四辺形恒等式 (5.1.9) から、与えられたノルムは内積から導かれること、すなわちノルムであり、三角不等式を満たすことが従う。
(f) 次に、\(V\) が複素ベクトル空間である場合を考える。次のように定義する：
\langle x, y \rangle
= \tfrac{1}{2}(\lVert x+y \rVert^{2} - \lVert x \rVert^{2} - \lVert y \rVert^{2})
+ \tfrac{i}{2}(\lVert x+iy \rVert^{2} - \lVert x \rVert^{2} - \lVert y \rVert^{2})
\(\mathrm{Re}\langle x, y \rangle\) が、\(V\) を実ベクトル空間と見なしたときの内積となるのはなぜかを説明せよ。この事実と (5.1.9) を用いて、\(\langle \cdot, \cdot \rangle\) が複素ベクトル空間としての \(V\) 上の内積であることを示せ。
行列解析の総本山
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