4.6.8
系 4.6.8. \(A \in M_n\) が与えられ、行列 \(A \overline{A}\) が \(k\) 個の異なる非負の固有値をもつとする。
(a) 行列 \(A\) は少なくとも \(k\) 個の一次独立な共役-固有ベクトル（coneigenvectors）をもつ。
(b) もし \(k = 0\) ならば、\(A\) は共役-固有ベクトルをもたない。
(c) もし \(k = n\) ならば、\(A\) は共役-対角化可能（condiagonalizable）である。さらに、\(S \in M_n\) が正則行列であって
A \overline{A} = S \Lambda S^{-1}
となり、\(\Lambda\) が非負の対角行列であるならば、
S^{-1} A \overline{S} = D
は対角行列となる。また、ある対角ユニタリ行列 \(\Psi\) が存在して
A = Y \Phi \overline{Y}^{-1}
が成り立つ。ここで \(Y = S \Psi\)、\(\Phi\) は非負の対角行列、さらに \(\Phi^2 = \Lambda\) である。
証明. (d) の第2の主張のみが正当化を要する。いま、
\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)
とし、各 \(j = 1, \ldots, n\) に対して \(\sigma_j^2 = \lambda_j\)、\(\sigma_j \geq 0\) とする。次に、
\Phi = \mathrm{diag}(\sigma_1, \ldots, \sigma_n)
とし、\(S = [s_1 \ \cdots \ s_n]\) を列ごとに分割する。各列ベクトル \(s_j\) は \(A \overline{A}\) の固有ベクトルであり、非負の固有値 \(\lambda_j\) に対応し、その代数的重複度（したがって幾何的重複度）も 1 である。したがって (4.4.6(d)) より、各 \(s_j\) は \(A\) の共役固有ベクトルであり、ある \(\theta_j \in [0, \pi)\) に対して
A s_j = e^{2i\theta_j} \sigma_j s_j
が成り立ち、さらに
A y_j = \sigma_j y_j, \quad y_j = e^{i\theta_j} s_j
である。ここで \(Y = [y_1 \ \cdots \ y_n]\)、\(\Psi = \mathrm{diag}(e^{i\theta_1}, \ldots, e^{i\theta_n})\) とおくと、
Y = S \Psi, \quad D = \Phi \Psi^2
となり、最終的に
A = (S \Psi) \Phi (S \Psi)^{-1} = Y \Phi \overline{Y}^{-1}
を得る。■
我々の目的は、ある行列が共対角化可能であるための単純な条件を与えることである。その第一歩として、共役-反転行列（coninvolutory matrix, (0.9.13)）が単位行列に共役-合同類似（consimilar）であることを証明する。
行列解析の総本山
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