[行列解析4.5.4]定義（∗合同・T合同）

4.5.4

定義 4.5.4.

\(A, B \in M_n\) とする。次の条件を満たす非特異行列 \(S\) が存在するとき、次のように定義する。

(a) \(B = SAS^*\) であるとき、\(B\) は \(A\) に対して ∗合同（「スター合同」）または結合的（conjunctive）であるという。

(b) \(B = SAS^T\) であるとき、\(B\) は \(A\) に対して合同、または T合同（「ティー合同」）であるという。

なぜ合同（あるいは ∗合同）な行列は同じ階数をもつのかを説明せよ。

もし \(A\) がエルミートであるなら、たとえ \(S\) が特異でも \(SAS^*\) もエルミートである。

同様に、もし \(A\) が対称行列であるなら、たとえ \(S\) が特異でも \(SAS^T\) も対称行列である。

通常、関心があるのは行列の型を保存する合同変換である。

すなわち、エルミート行列に対しては ∗合同、対称行列に対しては T合同である。

両方の種類の合同は、相似変換と重要な性質を共有している。