この節の目次
- 4.5.4 定義（∗合同・T合同）定義
- 4.5.5 定理
- 4.5.6 定義（慣性(inertia)）
- 4.5.7 定理
- 4.5.8 定理
- 4.5.9 定理（Ostrowski）
- 4.5.11 系
- 4.5.12 定理
- 4.5.16 定義
- 4.5.17 定理
- 4.5.18 補題
- 4.5.21 定理
- 4.5.22 定理
- 4.5.24 定理
- 4.5.25 定理
- 4.5.26 定理
- 4.5.27 定理
- 4.5 問題集
4.5 合同と対角化
実数の2階線形偏微分作用素は次の形をしています。
Lf = \sum_{i,j=1}^n a_{ij}(x)\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_i \partial x_j}
\\
\quad + \text{lower order terms}
ここで、係数 \(a_{ij}(x)\) は領域 \(D \subset \mathbb{R}^n\) 上で定義され、\(f\) は \(D\) 上で2回連続微分可能とします。(4.0.3)と同様に、一般性を失うことなく、係数行列 \(A(x) = [a_{ij}(x)]\) が \(D\) の各点で実対称であると仮定できます。「低次の項」とは、\(f\) とその1階偏導関数のみを含む項を指します。
変数変換を行い、新しい変数 \(s = [s_i] \in D \subset \mathbb{R}^n\) を導入します。各 \(s_i = s_i[x] = s_i(x_1, \ldots, x_n)\) とし、この変換が非特異であるとは、ヤコビ行列
S(x) = \left[ \frac{\partial s_i(x)}{\partial x_j} \right] \in M_n
が \(D\) の各点で非特異であることを意味します。この仮定により、逆変換 \(x = x(s)\) が局所的に存在することが保証されます。新しい座標における作用素 \(L\) は次の形をとります。
\begin{align}
Lf & = \sum_{i,j=1}^n \left[ \sum_{p,q=1}^n \frac{\partial s_i}{\partial x_p} a_{pq} \frac{\partial s_j}{\partial x_q} \right] \frac{\partial^2 f}{\partial s_i \partial s_j} \notag \\
& \quad + \text{lower order terms} \notag \\
& = \sum_{i,j=1}^n b_{ij} \frac{\partial^2 f}{\partial s_i \partial s_j} \notag \\
& \quad + \text{lower order terms} \notag
\end{align}したがって、新しい係数行列 \(B\)（座標 \(s = [s_i]\) における）は、古い係数行列 \(A\)（座標 \(x = [x_i]\) における）と次の関係で結ばれています。
B = S A S^T
ここで \(S\) は実の非特異行列です。
もし偏微分作用素 \(L\) が物理法則（例: ラプラシアン \(L = \nabla^2\) や静電ポテンシャル）と関連しているなら、独立変数の座標の選び方は法則に影響を与えないはずです。ただし \(L\) の形は変わります。このとき、ある行列 \(A\) に対して、式 (4.5.3T) により関連付けられる全ての行列 \(B\) の集合における不変量とは何でしょうか？
次の例は確率・統計から得られます。\(X_1, X_2, \ldots, X_n\) が有限の二次モーメントをもつ複素確率変数とし、確率空間における期待値作用素を \(E\)、\(\mu_i = E(X_i)\) を平均とします。エルミート行列
\begin{align}
A &= [a_{ij}] \notag \\
& = E[(X_i - \mu_i)(X_j - \mu_j)] \notag \\
&= \text{Cov}(X) \notag \\
\end{align}は確率ベクトル \(X = [X_1 \ \cdots \ X_n]^T\) の共分散行列です。もし \(S = [s_{ij}] \in M_n\) なら、\(SX\) は \(X\) の成分の線形結合からなる確率ベクトルです。
\(SX\) の成分の平均は
\begin{align}
E((SX)_i) &= E\left(\sum_{k=1}^n s_{ik} X_k\right) \notag \\
& = \sum_{k=1}^n s_{ik}E(X_k) \notag \\
&= \sum_{k=1}^n s_{ik}\mu_k \notag \\
\end{align}であり、\(SX\) の共分散行列は
\begin{align}
& \text{Cov}(SX) \notag \\
& = E[((SX)_i - E((SX)_i))((SX)_j - E((SX)_j))] \notag \\
&= \sum_{p,q=1}^n s_{ip}E[(X_p - \mu_p)(\overline{X_q} - \overline{\mu_q})]\overline{s_{jq}} \notag \\
&= \sum_{p,q=1}^n s_{ip} a_{pq} \overline{s_{jq}} \notag \\
&= S A S^* \notag
\end{align}したがって
\text{Cov}(SX) = S \ \text{Cov}(X) \ S^*
最後の例として、一般二次形式
Q_A(x) = \sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_i x_j = x^T A x, \quad \\
x = [x_i] \in \mathbb{C}^n
およびエルミート形式
H_B(x) = \sum_{i,j=1}^n b_{ij}\overline{x_i} x_j = x^* B x, \quad \\
x = [x_i] \in \mathbb{C}^n
を考えます。ここで \(A = [a_{ij}]\)、\(B = [b_{ij}]\) です。
もし \(S \in M_n\) なら
\begin{align}
Q_A(Sx) &= (Sx)^T A (Sx) \notag \\
&= x^T (S^T A S) x \notag \\
&= Q_{S^T A S}(x) \notag
\end{align}\begin{align}
H_B(Sx) &= (Sx)^* B (Sx) \notag \\
&= x^* (S^* B S) x \notag \\
&= H_{S^* B S}(x) \notag
\end{align}
行列解析の総本山
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