[行列解析4.4.P46]

4.4.問題46

この問題は (2.5.P69) および (2.5.P70) を基にしている。

(a) \(A, B \in M_n\) がユニタリ合同であるとき、三組 \((AA^*, BB^*)\)、\((A \bar{A}, B \bar{B})\)、および \((A^T \bar{A}, B^T \bar{B})\) が同時にユニタリ相似であることを示せ。

既知の事実として、この必要条件は \(A\) と \(B\) がユニタリ合同であるための十分条件でもある。

(b) 次の 4n×4n のブロック上三角行列を定義する：

\begin{align} K_A & = \begin{bmatrix} 0 & I & AA^* \\ A \bar{A} & 0 & I \\ A^T \bar{A} & 0 & I \\ 0 & 0 & I \end{bmatrix}, \notag \\ K_B &= \begin{bmatrix} 0 & I & BB^* \\ B \bar{B} & 0 & I \\ B^T \bar{B} & 0 & I \\ 0 & 0 & I \end{bmatrix} \notag \end{align}

なぜ \(A\) と \(B\) がユニタリ合同であることと、\(K_A\) と \(K_B\) がユニタリ相似であることが同値であるのかを説明せよ。