4.4.P1
4.4.問題1
行列 \(A \in M_n\) とする。
(a) \(A\) が対称であることと、ランクが同じ行列 \(S \in M_n\) が存在して、\(A = SS^{\top}\) であることは同値であることを示せ。
(b) \(A\) が対称かつユニタリであることと、ユニタリ行列 \(V \in M_n\) が存在して、\(A = VV^{\top}\) であることは同値であることを示せ。
解答例
(a) 対称性と分解 \(A = SS^{\top}\) の同値性（複素数体）
結論：複素数体上で、行列 \(A\) が対称（\(A^{\top} = A\)）であることと、ランクが \(\operatorname{rank}(S) = \operatorname{rank}(A)\) となる行列 \(S\) が存在して \(A = SS^{\top}\) であることは同値です。
証明
(⇒)
もし \(A = SS^{\top}\) なら、\((SS^{\top})^{\top} = SS^{\top}\) より \(A^{\top} = A\) です。
ランクは \(\ker(SS^{\top}) = \ker(S^{\top})\) から一致します。
(⇐)
複素対称行列 \(A\) に対して、高木分解によりユニタリ行列 \(U\) と非負実対角行列 \(\Sigma\) が存在して
\(A = U \Sigma U^{\top}\)
となります。ここで \(\Sigma^{1/2}\) を平方根対角行列とし、\(S := U \Sigma^{1/2}\) と置けば
\(SS^{\top} = U \Sigma U^{\top} = A\)
かつ \(\operatorname{rank}(S) = \operatorname{rank}(A)\) です。
(b) 対称かつユニタリ ⇔ \(A = VV^{\top}\)（V ユニタリ）
結論：複素数体上で、行列 \(A\) が対称かつユニタリであることと、ユニタリ行列 \(V\) が存在して \(A = VV^{\top}\) であることは同値です。
証明
(⇒)
高木分解より \(A = U \Sigma U^{\top}\)（\(U\) ユニタリ、\(\Sigma\) 非負実対角）。
ユニタリ行列の特異値はすべて 1 なので \(\Sigma = I\)、よって \(A = UU^{\top}\)。
(⇐)
\(A = VV^{\top}\) で \(V\) ユニタリなら、\((VV^{\top})^{\top} = VV^{\top}\) で対称性が成り立ちます。
また
\(A A^* = VV^{\top} \overline{V} V^* = V (V^{\top} \overline{V}) V^* = V I V^* = I\)
よりユニタリ性も成立します。
補足
(a) は高木分解を使って平方根を取ることで \(SS^{\top}\) 形にできること、(b) はその特別ケースで特異値がすべて 1 になるため \(VV^{\top}\) 形になることを示しています。
成分を実数体に限定した場合、(a) は「半正定値」に限って成立し、(b) は一般には成立しません（実直交 \(V\) は常に \(VV^{\top}=I\)です）。
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