4.4.21
系 4.4.21.
\( V \in M_n \) をユニタリ行列とする。このとき \( V \) は次の形にユニタリ合同である。
I_{\,n-2q} \oplus
\begin{bmatrix}
a_1 & b_1 \\
-b_1 & a_1
\end{bmatrix}
\oplus \cdots \oplus
\begin{bmatrix}
a_q & b_q \\
-b_q & a_q
\end{bmatrix}
\tag{4.4.22}
ここで \( 2q \leq n \)、\( a_j, b_j \) は実数であり、各 \( j = 1, \ldots, q \) に対して \( a_j \geq 0 \)、\( 0 \lt b_j \leq 1 \)、かつ \( a_j^2 + b_j^2 = 1 \) が成り立つ。(4.4.22) のパラメータは \( V\bar{V} \) の固有値によって一意的に決まる。すなわち、\( n - 2q \) は \( V\bar{V} \) における固有値 +1 の重複度であり、もし \( V\bar{V} \) の固有値で実数かつ非負でないもの以外が \( e^{\pm 2i\theta_j}, j=1, \ldots, q, 0 \lt \theta_j \leq \pi/2 \) であるならば、\( a_j = \cos\theta_j \)、\( b_j = \sin\theta_j \) である。
証明. \( V \) はユニタリ行列なので共役正規であり、その標準形 (4.4.17) もユニタリ行列でなければならない。これにより \(\epsilon\) はユニタリであることが従い、したがって \(\epsilon = I\) である。また、(4.4.17) の各 2×2 ブロックもユニタリでなければならない。(4.4.17) のブロック
\begin{bmatrix}
a_j & b_j \\
-b_j & a_j
\end{bmatrix}
は実直交行列であるので、各 \( \tau_j = 1 \) である。(4.4.22) のパラメータは (4.4.17) と同様に決定される。
さて、複素対称行列のジョルダン標準形には特別な性質があるだろうか。この問いに答える第一歩として、次の対称行列を考える。
S_m = \tfrac{1}{\sqrt{2}}(I_m + iK_m)
\tag{4.4.23}
ここで \( K_m \in M_m \) は反転行列 (0.9.5.1) である。\( K_m \) は対称行列であり、さらに \( K_m^2 = I_m \) が成り立つことに注意せよ。
練習問題. (4.4.23) で定義された行列 \( S_m \) がユニタリであることを確認せよ。
練習問題. \( J_m(0) \) をサイズ \( m \) の冪零ジョルダンブロックとする。このとき次を確認せよ。
(a) \( K_m J_m(0) = [h_{ij}] \) が対称であること。
(b) \( J_m(0)K_m = [h_{ij}] \) が対称であること。
(c) \( K_m J_m(0) K_m = J_m(0)^T \) が成り立つこと。ヒント: (3.2.3) を参照。
練習問題. \( J_m(\lambda) \) を固有値 \( \lambda \) を持つサイズ \( m \) のジョルダンブロックとする。このとき次を確認せよ。
\begin{aligned}
S_m J_m(\lambda) S_m^{-1}
&= S_m J_m(\lambda) S_m^{*} \\
&= S_m(\lambda I_m + J_m(0))S_m^{*} \\
&= \lambda I_m + S_m J_m(0) S_m^{*} \\
&= \lambda I_m + \tfrac{1}{2}(I + iK_m) J_m(0)(I - iK_m) \\
&= \lambda I_m + \tfrac{1}{2}(J_m(0) + K_m J_m(0) K_m)
+ \tfrac{i}{2}K_m J_m(0) - \tfrac{i}{2}J_m(0)K_m
\end{aligned}
そして、なぜ \( S_m J_m(\lambda) S_m^{-1} \) が対称行列になるのかを説明せよ。
行列解析の総本山
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