系 4.4.4.
系4.4.4オートンの定理とは？対称行列のユニタリ合同標準形を証明付きでわかりやすく解説
\(A\in M_n\) とする。
命題(a)ユニタリ合同三角化と \(A\bar{A}\) の固有値の性質
もしユニタリ行列 \(U\in M_n\) が存在して \(A=UDU^{\top}\) と書け、\(D\) が上三角行列であるならば、\(A\bar{A}\) の固有値はすべて実数かつ非負である。
命題(b)\(A\bar{A}\) の固有値によるユニタリ合同三角化条件
もし \(A\bar{A}\) が少なくとも \(n-1\) 個の実の非負固有値をもつならば、ユニタリ行列 \(U\in M_n\) が存在して
\(A=UDU^{\top}\)
となる。ただし \(D=[d_{ij}]\) は上三角行列であり、各対角成分は \(d_{ii}\ge0\) を満たす。さらに
\(d_{11}^2,\ldots,d_{nn}^2\)
は \(A\bar{A}\) の固有値である。
命題(c)オートンの定理による対称行列の特異値分解
（オートンの定理）\(A\) が対称行列であるならば、ユニタリ行列 \(U\in M_n\) が存在して
\(A=U\Sigma U^{\top}\)
となる。ただし \(\Sigma\) は非負対角行列であり、その対角成分は \(A\) の特異値である。特異値の順序は任意に選ぶことができる。
命題(d)オートン分解の一意性とユニタリ行列の自由度
（一意性）\(A\) が対称行列であり、\(\operatorname{rank}A=r\) とする。\(A\) の正の特異値を
\(s_1,\ldots,s_d\) （任意の順序）とし、それぞれの重複度を \(n_1,\ldots,n_d\)
とする。
\Sigma=s_1I_{n_1}\oplus\cdots\oplus s_dI_{n_d}\oplus0_{\,n-r}とおく。ただし、\(A\) が正則なら最後の零ブロックは存在しない。
ユニタリ行列 \(U,V\in M_n\) に対して
A=U\Sigma U^{\top}=V\Sigma V^{\top}が成り立つのは、
V=UZ
かつ
Z=Q_1\oplus\cdots\oplus Q_d\oplus\widetilde{Z}と書ける場合、かつその場合に限る。ただし \(\widetilde{Z}\in M_{n-r}\) は任意のユニタリ行列であり、各 \(Q_j\in M_{n_j}\) は実直交行列である。
さらに、\(A\) の特異値がすべて異なるならば（すなわち \(d\ge n-1\)）、
V=UD,\qquad D=\operatorname{diag}(d_1,\ldots,d_n)となる。ここで
d_i=\pm1\quad(i=1,\ldots,n-1)
であり、さらに \(A\) が正則なら \(d_n=\pm1\)、非正則なら \(|d_n|=1\) を満たす任意の複素数である。
証明
証明（a）
\(A=UDU^{\top}\) とする。ユニタリ行列の性質 \(U^{\top}\bar{U}=I\) より、
A\bar{A}
=UDU^{\top}\bar{U}\,\bar{D}\,U^*
=UD\bar{D}U^*となる。したがって \(A\bar{A}\) は \(D\bar{D}\) とユニタリ相似である。
\(D\) は上三角行列であるから、\(D\bar{D}\) も上三角行列であり、その対角成分は
d_{11}^2,\;d_{22}^2,\;\ldots,\;d_{nn}^2である。よって \(D\bar{D}\) の固有値はすべて実数かつ非負である。
ユニタリ相似は固有値を保存するので、\(A\bar{A}\) の固有値もすべて実数かつ非負である。
証明（b）
\(A\bar{A}\) が少なくとも \(n-1\) 個の実の非負固有値をもつと仮定する。
定理 4.4.3 の \(p\ge n-1\) の場合を適用すると、ユニタリ行列 \(U\) が存在して
A=UDU^{\top}と書くことができる。ただし、\(D=[d_{ij}]\) は上三角行列であり、各対角成分は非負となるように選ぶことができる。
（a）より、
A\bar{A}=UD\bar{D}U^*であるから、\(A\bar{A}\) と \(D\bar{D}\) はユニタリ相似であり、同じ固有値をもつ。
一方、\(D\bar{D}\) は上三角行列であるため、その固有値は対角成分に一致する。したがって、
\lambda(A\bar{A})=\{d_{11}^2,\ldots,d_{nn}^2\}となる。各 \(d_{ii}\) は非負であるから、これらの固有値はすべて実数かつ非負である。
以上より、\(A\bar{A}\) の固有値は \(d_{11}^2,\ldots,d_{nn}^2\) に一致し、求める分解が得られる。
証明（c）
\(A\) が対称行列であると仮定する。このとき
A^{\top}=Aより、
\bar{A}=A^*が成り立つ。したがって、
A\bar{A}=AA^*となる。
\(AA^*\) の固有値は \(A\) の特異値の平方であるから、すべて実数かつ非負である。
よって（b）より、ユニタリ行列 \(U\) が存在して
A=UDU^{\top}と書ける。ただし \(D=[d_{ij}]\) は上三角行列であり、その対角成分は \(A\) の特異値である。
さらに \(A\) は対称であるから、
D=D^{\top}となる。
対称な上三角行列は対角行列であるから、\(D\) は非負対角行列となる。これを \(\Sigma\) と書けば、
A=U\Sigma U^{\top}を得る。
さらに、任意の置換行列 \(P\) はユニタリであるから、
A=(UP)(P^{\top}\Sigma P)(UP)^{\top}となる。したがって、\(\Sigma\) の対角成分、すなわち \(A\) の特異値は任意の順序に並べ替えることができる。
証明（d）
\(A\) の2つの分解
A=U\Sigma U^{\top}=V\Sigma V^{\top}を考える。
両式はともに \(A\) の特異値分解であるから、特異値分解の一意性（定理 2.6.5）より、あるユニタリ行列 \(X,Y\) が存在して
U=VX,\qquad \bar{U}=V\bar{Y}と書ける。
さらに、\(X\) および \(Y\) は特異値の重複度に対応して
X=Z_1\oplus\cdots\oplus Z_d\oplus\widetilde{Z}Y=Z_1\oplus\cdots\oplus Z_d\oplus\widetilde{Y}と表される。ただし、各 \(Z_j\in M_{n_j}\) はユニタリ行列であり、\(\widetilde{Z}\) および \(\widetilde{Y}\) は零特異値に対応するユニタリ行列である。
一方、
X=V^*U=V^{\top}\bar{U}=\bar{Y}であるから、
Z_j=\bar{Z}_j\qquad(j=1,\ldots,d)が従う。したがって各 \(Z_j\) は実行列であり、しかもユニタリであるから実直交行列となる。
ゆえに
V=UZ
ただし
Z=Q_1\oplus\cdots\oplus Q_d\oplus\widetilde{Z}と書くことができ、各 \(Q_j\) は実直交行列となる。
逆に、この形の \(Z\) を用いれば
V=UZ
は再び
A=V\Sigma V^{\top}を満たすので、一意性が示された。
さらに、\(A\) の正の特異値がすべて異なるならば、各ブロックの大きさは 1 となる。したがって各 \(Q_j\) は \(1\times1\) の実直交行列であり、
Q_j=\pm1
となる。
よって
V=UD,\qquad D=\operatorname{diag}(d_1,\ldots,d_n)と書くことができ、
d_i=\pm1\quad(i=1,\ldots,n-1)
が成り立つ。また、\(A\) が正則なら最後の成分についても \(d_n=\pm1\) であり、非正則なら零特異値に対応する自由度が残るため、
|d_n|=1
を満たす任意の複素数をとることができる。
補足
定理 4.4.3 は、\(A\bar{A}\) が十分多くの実の非負固有値をもたない場合に、行列 \(A\) がユニタリ合同によってどのような標準形へ簡約できるかを考える動機を与える。
系 3.4.1.9 より、\(A\bar{A}\) は常に実行列に相似である。したがって、その特性多項式の係数はすべて実数であり、特に
\operatorname{tr}(A\bar{A})\in\mathbb{R}となる。また、非実固有値は必ず共役な対として現れる。
特に \(A\in M_2\) とする。もし \(A\bar{A}\) の固有値がいずれも実の非負数でないならば、\(A\bar{A}\) は実行列に相似であることから、次の2通りしか起こらない。
- 固有値が互いに共役な非実複素数である場合。
- 固有値がともに実数であり、しかも負である場合。
後者の場合について、次の命題は興味深い事実を与える。すなわち、2つの負の固有値は必ず一致する。
\(A\bar{A}\) の特性多項式は
p_{A\bar{A}}(t)=t^2-\operatorname{tr}(A\bar{A})t+\det(A\bar{A})
=t^2-\operatorname{tr}(A\bar{A})t+|\det A|^2である。
したがって、この多項式が実数解をもつための必要十分条件は判別式が非負となることであり、
\bigl(\operatorname{tr}(A\bar{A})\bigr)^2-4|\det A|^2\ge0が成り立つことと同値である。
さらに、もし \(A\bar{A}\) が2つの負の固有値をもつならば、それらの和は負であるため、
\operatorname{tr}(A\bar{A})<0となる。
この観察は、2次の場合のユニタリ合同標準形を考える際に重要な役割を果たす。
練習問題
\(A\in M_n\) が歪対称行列であるとする。このとき、\(A\bar{A}\) の固有値はすべて実数かつ非正であることを説明せよ。
ヒント. 歪対称性 \(A^{\top}=-A\) より、
\bar{A}=-A^*となるので、
A\bar{A}=-AA^*を用いよ。
練習問題
\(A\in M_n\) とする。次の2つの量
f(A)=\operatorname{tr}(A\bar{A})g(A)=\det(A\bar{A})=|\det A|^2がユニタリ合同不変関数であることを示せ。すなわち、任意のユニタリ行列 \(U\in M_n\) に対して、
f(UAU^{\top})=f(A)g(UAU^{\top})=g(A)が成り立つことを証明せよ。
さらに、\(n=2\) の場合には、\(A\bar{A}\) の特性多項式
p_{A\bar{A}}(t)
=t^2-\operatorname{tr}(A\bar{A})t+|\det A|^2の判別式
\Delta=\bigl(\operatorname{tr}(A\bar{A})\bigr)^2-4|\det A|^2もユニタリ合同不変量となる理由を説明せよ。
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