[行列解析4.3.P7]Schurの定理と和の等号成立

4.3.P7

4.3.問題7

定理 4.3.45（Schur）.

\( A = [a_{ij}] \in M_n \) をエルミート行列とする。その固有値のベクトル
\lambda(A) = [\lambda_i(A)]_{i=1}^n
は、主対角成分のベクトル
d(A) = [a_{ii}]_{i=1}^n
をメジャライズする。すなわち、
(4.3.46)
\sum_{i=1}^k \lambda_i(A)^\downarrow \geq \sum_{i=1}^k d_i(A)^\downarrow 
が \( k = 1, 2, \ldots, n \) の各場合について成り立ち、特に \( k = n \) のとき等号が成り立つ。もし \( k \in \{1, \ldots, n-1\} \) に対して不等式 (4.3.46) が等号となるならば、\( A \) はある \( B \in M_k \) を用いて \( B \oplus D \) に置換相似である。

定理 4.3.45(4.3.45) の証明のスケッチを補う詳細を与えよ。

この証明は次元に関する帰納法を用い、コーシーの交錯定理を利用する。\(n=1\) の場合は自明とする。\(n-1\) サイズのエルミート行列に対して主張される主要化が成り立つと仮定する。\(A\) の最小の代数的対角成分 \(d_n^\downarrow\) に対応する行と列を削除して得られる主要小行列を \(\hat{A} \in M_{n-1}\) とする。さらに、\(\hat{\lambda}^\downarrow\) を \(\hat{A}\) の固有値を非増加順に並べたベクトルとする。帰納法の仮定により、次が成り立つ。

\sum\_{i=1}^k \hat{\lambda}\_i^\downarrow \geq \sum\_{i=1}^k d\_i^\downarrow

定理 4.3.17（Cauchy）(4.3.17) により次が保証される。

\sum\_{i=1}^k \lambda\_i^\downarrow \geq \sum\_{i=1}^k \hat{\lambda}\_i^\downarrow, \quad k=1,\ldots,n-1

したがって、\(k=1,\ldots,n-1\) に対して次が成り立つ。

\sum\_{i=1}^k \lambda\_i^\downarrow \geq \sum\_{i=1}^k d\_i^\downarrow

\(k=n\) の場合、なぜ等号が成り立つのかを説明せよ。

ヒント

定理 4.3.17（Cauchy）.

\(B \in M_n\) をエルミート行列、\(y \in \mathbb{C}^n\)、\(a \in \mathbb{R}\) を与えられたものとし、
A =
\begin{bmatrix}
B & y \\
y^* & a
\end{bmatrix}
∈ M_{n+1}
とする。このとき次が成り立つ。
(4.3.18)
λ_1(A) ≤ λ_1(B) ≤ λ_2(A) ≤ ··· ≤ λ_n(A) ≤ λ_n(B) ≤ λ_{n+1}(A)

固有値の総和はトレースに等しく、対角成分の総和もトレースに等しい。したがって \( k=n \) の場合は両者が一致する。すなわち \( \sum_{i=1}^n \lambda_i(A) = \mathrm{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii} \) を用いればよい。