4.3.問題7
4.3.P7
(4.3.45) の証明のスケッチを補う詳細を与えよ。この証明は次元に関する帰納法を用い、コーシーの交錯定理を利用する。\(n=1\) の場合は自明とする。\(n-1\) サイズのエルミート行列に対して主張される主要化が成り立つと仮定する。\(A\) の最小の代数的対角成分 \(d\_n^\downarrow\) に対応する行と列を削除して得られる主要小行列を \(\hat{A} \in M\_{n-1}\) とする。さらに、\(\hat{\lambda}^\downarrow\) を \(\hat{A}\) の固有値を非増加順に並べたベクトルとする。帰納法の仮定により、次が成り立つ。
\sum\_{i=1}^k \hat{\lambda}\_i^\downarrow \geq \sum\_{i=1}^k d\_i^\downarrow
(4.3.17) により次が保証される。
\sum\_{i=1}^k \lambda\_i^\downarrow \geq \sum\_{i=1}^k \hat{\lambda}\_i^\downarrow, \quad k=1,\ldots,n-1
したがって、\(k=1,\ldots,n-1\) に対して次が成り立つ。
\sum\_{i=1}^k \lambda\_i^\downarrow \geq \sum\_{i=1}^k d\_i^\downarrow
\(k=n\) の場合、なぜ等号が成り立つのかを説明せよ。
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
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2025.08.05
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