[行列解析4.3.P1]ヴェイアの定理による固有値評価

4.3.P1

4.3.問題1

定理 4.3.1（ヴェイアの定理）

\(A, B ∈ M_n\) をエルミート行列とし、それぞれの固有値を \(A, B, A+B\) について \( \{λ_i(A)\}_{i=1}^n, \{λ_i(B)\}_{i=1}^n, \{λ_i(A+B)\}_{i=1}^n\) とする。これらは (4.2.1) のように代数的順序で並んでいるとする。
(4.2.1)
\lambda_{\min} = \lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \cdots \leq \lambda_{n-1} \leq \lambda_n = \lambda_{\max} 
このとき次が成り立つ。
(4.3.2a)
\lambda_i(A+B) \leq \lambda_{i+j}(A) + \lambda_{n-j}(B), \quad j = 0,1,\ldots,n-i
これは各 \( i = 1,\ldots,n \) について成り立ち、ある組 \( i,j \) で等号が成立するのは、非零ベクトル \( x \) が存在して
Ax = \lambda_{i+j}(A)x, \quad Bx \\
= \lambda_{n-j}(B)x, \\
\quad (A+B)x = \lambda_i(A+B)x
を満たす場合に限られる。また次も成り立つ。
(4.3.2b)
\lambda_{i-j+1}(A) + \lambda_j(B) \leq \lambda_i(A+B), \\
\quad j=1,\ldots,i
これは各 \( i=1,\ldots,n \) について成り立ち、ある組 \( i,j \) で等号が成立するのは、非零ベクトル \( x \) が存在して
Ax = \lambda_{i-j+1}(A)x, \\
\quad Bx = \lambda_j(B)x, \\
\quad (A+B)x = \lambda_i(A+B)x
を満たす場合に限られる。もし \(A\) と \(B\) が共通の固有ベクトルを持たないならば、(4.3.2a, b) のすべての不等式は真の不等式となる。

行列 \(A, B \in M\_n\) をエルミートとする。定理 4.3.1（ヴェイアの定理）を用いて、すべての \(i = 1, \ldots, n\) に対して次を示せ。

\lambda\_1(B) \leq \lambda\_i(A+B) - \lambda\_i(A) \leq \lambda\_n(B)

さらに、\(|\lambda\_i(A+B) - \lambda\_i(A)| \leq \rho(B)\) が成り立つことを結論せよ。これはエルミート行列の固有値に関する摂動定理の単純な例である。(6.3) では、より多くの摂動定理が示される。

ヒント

ヴェイアの定理の不等式 \( \lambda_{i-j+1}(A) + \lambda_j(B) \leq \lambda_i(A+B) \) と \( \lambda_i(A+B) \leq \lambda_{i+j}(A) + \lambda_{n-j}(B) \) において、それぞれ適切に \( j \) を選ぶことで評価を行う。特に \( j=1 \) および \( j=0 \) を用いるとよい。