4.3.51
補題 4.3.51.
\(x = [x_i], y = [y_i], w = [w_i] \in \mathbb{R}^n\) とする。もし \(x\) が \(y\) をメジャライズするならば、次が成り立つ。
\sum_{i=1}^n w_i^{\downarrow} x_i^{\uparrow} \leq
\sum_{i=1}^n w_i^{\downarrow} y_i \leq
\sum_{i=1}^n w_i^{\downarrow} x_i^{\downarrow}
\tag{4.3.52}
ここで、各 \(k = 1, \ldots, n\) に対して次を定義する。
\hat{X}_k = \sum_{i=1}^k x_i^{\downarrow},
\quad \check{X}_k = \sum_{i=1}^k x_i^{\uparrow},
\quad Y_k = \sum_{i=1}^k y_i
(4.3.52) の右側の不等式が等号となるのは、各 \(i = 1, \ldots, n-1\) について
(w_i^{\downarrow} - w_{i+1}^{\downarrow})(\hat{X}_i - Y_i) = 0
\tag{4.3.52a}
(4.3.52) の左側の不等式が等号となるのは、各 \(i = 1, \ldots, n-1\) について
(w_i^{\downarrow} - w_{i+1}^{\downarrow})(\check{X}_i - Y_i) = 0
\tag{4.3.52b}
証明.
\(x\) が \(y\) をメジャライズするので、各 \(k = 1, \ldots, n-1\) に対して \(\hat{X}_k \geq Y_k\) が成り立ち、さらに \(\hat{X}_n = Y_n\) である。部分和の公式（2回）と、各 \(w_i^{\downarrow} - w_{i+1}^{\downarrow} \geq 0\) という仮定を用いると、次が得られる：
\sum_{i=1}^n w_i^{\downarrow} y_i
= \sum_{i=1}^{n-1} (w_i^{\downarrow} - w_{i+1}^{\downarrow}) Y_i
+ w_n^{\downarrow} Y_n
\leq \sum_{i=1}^{n-1} (w_i^{\downarrow} - w_{i+1}^{\downarrow}) \hat{X}_i
+ w_n^{\downarrow} Y_n
= \sum_{i=1}^{n-1} (w_i^{\downarrow} - w_{i+1}^{\downarrow}) \hat{X}_i
+ w_n^{\downarrow} \hat{X}_n
= \sum_{i=1}^n w_i^{\downarrow} x_i^{\downarrow}
これにより上界が示され、さらに等号成立の条件は、各 \(i = 1, \ldots, n-1\) について
(w_i^{\downarrow} - w_{i+1}^{\downarrow}) Y_i
= (w_i^{\downarrow} - w_{i+1}^{\downarrow}) \hat{X}_i
すなわち、
(w_i^{\downarrow} - w_{i+1}^{\downarrow})(\hat{X}_i - Y_i) = 0
\quad (i = 1, \ldots, n-1)
である。さらに、\(-x\) が \(-y\) をメジャライズするので、\(-x, -y, w\) に対して上界を適用できる：
\sum_{i=1}^n w_i^{\downarrow} (-y_i)
\leq \sum_{i=1}^n w_i^{\downarrow} (-x)_i^{\downarrow}
= \sum_{i=1}^n w_i^{\downarrow} (-(x_i^{\uparrow}))
= - \sum_{i=1}^n w_i^{\downarrow} x_i^{\uparrow}
したがって、
\sum_{i=1}^n w_i^{\downarrow} x_i^{\uparrow}
\leq \sum_{i=1}^n w_i^{\downarrow} y_i
これが下界である。等号の成立条件も同様に、\(-Y_k \leq -\check{X}_k\) を用いることで導かれる。 ■
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
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2025.08.05
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