4.3.9
系 4.3.9
\(n ≥ 2\) とし、エルミート行列 \(A \in M_n\) および非ゼロベクトル \(z \in \mathbb{C}^n\) を考える。このとき次が成り立つ。
(4.3.10)
λ_i(A) ≤ λ_i(A + zz^*) ≤ λ_{i+1}(A), i = 1, …, n − 1 \\
λ_n(A) ≤ λ_n(A + zz^*)
(4.3.10) の等号成立の条件は、(4.3.3) に従い \(\pi = 1, \nu = 0\) と同様である。例えば、\(\lambda_i(A + zz^*) = λ_{i+1}(A)\) となるのは、非ゼロベクトル \(x\) が存在して \(Ax = λ_{i+1}(A)x\)、\(z^* x = 0\)、\((A + zz^*)x = λ_i(A + zz^*)x\) を満たす場合に限る。
(4.3.11)
λ_1(A − zz^*) ≤ λ_1(A) \\
λ_{i−1}(A) ≤ λ_i(A − zz^*) ≤ λ_i(A), \quad i = 2, …, n
(4.3.11) の等号成立の条件は、(4.3.3) に従い \(\pi = 0, \nu = 1\) と同様である。もし A のどの固有ベクトルも z に直交しない場合、(4.3.10, 4.3.11) のすべての不等式は厳密な不等式となる。
証明.
(4.3.4a) で \(\pi = 1, \nu = 0\) を、(4.3.4b) で \(\pi = 0, \nu = 1\) を取り、前の演習結果を用いる。
演習.
\(B \in M_n\) が半正定値であるとき、なぜ \(\lambda_1(B) = 0\) となるのは B が特異である場合に限るのか説明せよ。
次の系は単調性定理（monotonicity theorem）として知られる。
[行列解析4.3]エルミート行列に関する固有値の不等式
この節の目次4.3.1 定理（ヴェイアの定理）4.3.3 系4.3.5 系4.3.7 系4.3.9 系4.3.12 系4.3.15 系4.3.17 定理（Cauchy）4.3.21 定理4.3.26 定理4.3.28 定理4.3.34 系4...
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