4.2.P9
4.2.問題9
定理 4.2.10. \( A \in M_n \) をエルミート行列とし、その固有値を (4.2.1) に従って昇順に並べる。
(4.2.1)\lambda_{\min} = \lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \cdots \leq \lambda_{n-1} \leq \lambda_n = \lambda_{\max}\( S \) を \( \mathbb{C}^n \) の \( k \) 次元部分空間、\( c \in \mathbb{R} \) を与えられた実数とする。このとき次が成り立つ。
(a) 任意の単位ベクトル \( x \in S \) に対して \( x^* A x \geq c \)（それぞれ \( x^* A x \gt c \)）であるならば、
\lambda_{\,n-k+1}(A) \;\geq\; c \quad (\text{それぞれ } \lambda_{\,n-k+1}(A) \gt c)(b) 任意の単位ベクトル \( x \in S \) に対して \( x^* A x \leq c \)（それぞれ \( x^* A x \lt c \)）であるならば、
\lambda_k(A) \;\leq\; c \quad (\text{それぞれ } \lambda_k(A) \lt c)
(4.2.10) の別証明を与えなさい。ただし、まず (4.2.7) から (b) を導き、次に \(-A\) に対して (b) を適用して (a) を導く方法によること。
\lambda_k \;=\; \min_{\{S:\,\dim S = k\}} \; \max_{\{x:\,0 \neq x \in S\}} \; \frac{x^* A x}{x^* x}
ヒント
まず (4.2.7) の最小最大原理を用いて (b) を示す。与えられた部分空間 \( S \) に対して最大値を評価し、その後最小化する。次に、(a) は行列 \( -A \) に対して (b) を適用することで導かれる。
解答例
まず (b) を示す。クーラント＝フィッシャーの定理 (4.2.7) より \( \lambda_k(A) = \min_{\dim S = k} \max_{x \in S, x \neq 0} \frac{x^*Ax}{x^*x} \) が成り立つ。
いま、ある \( k \) 次元部分空間 \( S \subset \mathbb{C}^n \) に対して、任意の単位ベクトル \( x \in S \) が \( x^*Ax \leq c \) を満たすとする。このとき任意の \( x \in S \setminus \{0\} \) に対しても
\frac{x^*Ax}{x^*x} \leq c
が成り立つので、
\max_{\substack{x \in S \\ x \neq 0}} \frac{x^*Ax}{x^*x} \leq c
である。したがって最小値をとると
\lambda_k(A)
= \min_{\dim S = k}
\max_{x \in S \setminus \{0\}} \frac{x^*Ax}{x^*x}
\leq c
が従い、(b) が示された。
次に (a) を示す。行列 \( -A \) に対して (b) を適用すると、任意の単位ベクトル \( x \in S \) に対して \( x^*(-A)x \leq -c \) が成り立つとき、
\lambda_k(-A) \leq -c
が従う。
ここで固有値の関係 \( \lambda_k(-A) = -\lambda_{n-k+1}(A) \) を用いると、
-\lambda_{n-k+1}(A) \leq -c
すなわち
\lambda_{n-k+1}(A) \geq c
が得られる。
よって (a) が示された。
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