4.2.10
定理 4.2.10. \( A \in M_n \) をエルミート行列とし、その固有値を (4.2.1) に従って昇順に並べる。\( S \) を \( \mathbb{C}^n \) の \( k \) 次元部分空間、\( c \in \mathbb{R} \) を与えられた実数とする。このとき次が成り立つ。
(a) 任意の単位ベクトル \( x \in S \) に対して \( x^* A x \geq c \)（それぞれ \( x^* A x \gt c \)）であるならば、
\lambda_{\,n-k+1}(A) \;\geq\; c \quad (\text{それぞれ } \lambda_{\,n-k+1}(A) \gt c)
(b) 任意の単位ベクトル \( x \in S \) に対して \( x^* A x \leq c \)（それぞれ \( x^* A x \lt c \)）であるならば、
\lambda_k(A) \;\leq\; c \quad (\text{それぞれ } \lambda_k(A) \lt c)
証明. \( x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{C}^n \) を正規直交系で、各 \( i = 1, \ldots, n \) に対して \( A x_i = \lambda_i(A) x_i \) を満たすとする。さらに
S_1 = \mathrm{span}\{x_1, \ldots, x_{\,n-k+1}\}
とおく。このとき
\dim S + \dim S_1 = k + (n-k+1) = n+1
であるから、補題 (4.2.3) により \( S \cap S_1 \) に単位ベクトル \( x \) が存在する。(a) の仮定より \( x \in S \) で \( x^* A x \geq c \) が成り立ち、さらに (4.2.2) により \( x \in S_1 \) から \( x^* A x \leq \lambda_{\,n-k+1}(A) \) が成り立つ。よって
c \;\leq\; x^* A x \;\leq\; \lambda_{\,n-k+1}(A)
となる。したがって \(\lambda_{\,n-k+1}(A) \geq c\) が得られ、もし \( x^* A x \gt c \) ならば不等号は厳密になる。(b) の主張は、(a) を \(-A\) に適用することで従う。
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