[行列解析4.1.P30]

4.1.問題30
- 4.1.P30

4.1.問題30

4.1.P30

\(A \in M_n\) がエルミートで \(\mathrm{rank}\,A = r > 0\) とする。\(A\) は rank-principal であるため、サイズ \(r\) の非零主小行列式を持つことが知られている（0.7.6 を参照）。しかし、さらに次のことが言える。

(4.1.5) を用いて \(A = U \Lambda U^*\) と書ける。ここで \(U \in M_n\) はユニタリ、\(\Lambda = \Lambda_r \oplus 0_{n−r}\) は実対角行列である。

(a) なぜ \(\det \Lambda_r\) が実数かつ非零であるかを説明せよ。

(b) \(U = [V \; U_2]\) と分割し、\(V \in M_{n,r}\) とする。なぜ \(A = V \Lambda_r V^*\) が成り立つか説明せよ。これは \(A\) のフルランク分解である。

(c) \(\alpha, \beta \subseteq \{1, …, n\}\) をサイズ \(r\) のインデックス集合とし、\(V[\alpha, ∅^c] = V_\alpha\) とする。なぜ \(A[\alpha, \beta] = V_\alpha \Lambda_r V_\beta^*\) が成り立つか、また \(\det A[\alpha] = |\det V_\alpha|^2 \det \Lambda_r\) となる理由、さらに \(\det A[\alpha] \det A[\beta] = \det A[\alpha, \beta] \det A[\beta, \alpha]\) が成り立つ理由を説明せよ。

(d) なぜ \(A[\alpha] = V_\alpha \Lambda_r V_\alpha^*\) という分解により、\(A\) は少なくとも1つのサイズ \(r\) の非零主小行列式を持ち、かつすべてのそのような小行列式が同符号であることが保証されるか説明せよ。\(A\) が正規行列の場合のこの結果のバージョンについては (2.5.P48) を参照。