[行列解析4.1.P30]エルミート行列のランク主小行列式の性質

4.1.P30

4.1.問題30

\(A \in M_n\) がエルミートで \(\mathrm{rank}\,A = r > 0\) とする。\(A\) は rank-principal であるため、サイズ \(r\) の非零主小行列式を持つことが知られている（0.7.6 を参照）。しかし、さらに次のことが言える。

(4.1.5) を用いて \(A = U \Lambda U^*\) と書ける。ここで \(U \in M_n\) はユニタリ、\(\Lambda = \Lambda_r \oplus 0_{n−r}\) は実対角行列である。

4.1.5定理

行列 \(A \in M_n\) はエルミートであることと、ユニタリ行列 \(U \in M_n\) と実対角行列 \(\Lambda \in M_n\) が存在して \(A = U \Lambda U^*\) と書けることは同値である。さらに、\(A\) が実かつエルミート（すなわち実対称行列）であることは、実直交行列 \(P \in M_n\) と実対角行列 \(\Lambda \in M_n\) が存在して \(A = P \Lambda P^{\top}\) と書けることと同値である。

(a) なぜ \(\det \Lambda_r\) が実数かつ非零であるかを説明せよ。

(b) \(U = [V \; U_2]\) と分割し、\(V \in M_{n,r}\) とする。なぜ \(A = V \Lambda_r V^*\) が成り立つか説明せよ。これは \(A\) のフルランク分解である。

(c) \(\alpha, \beta \subseteq \{1, …, n\}\) をサイズ \(r\) のインデックス集合とし、\(V[\alpha, ∅^c] = V_\alpha\) とする。なぜ \(A[\alpha, \beta] = V_\alpha \Lambda_r V_\beta^*\) が成り立つか、また \(\det A[\alpha] = |\det V_\alpha|^2 \det \Lambda_r\) となる理由、さらに \(\det A[\alpha] \det A[\beta] = \det A[\alpha, \beta] \det A[\beta, \alpha]\) が成り立つ理由を説明せよ。

(d) なぜ \(A[\alpha] = V_\alpha \Lambda_r V_\alpha^*\) という分解により、\(A\) は少なくとも1つのサイズ \(r\) の非零主小行列式を持ち、かつすべてのそのような小行列式が同符号であることが保証されるか説明せよ。\(A\) が正規行列の場合のこの結果のバージョンについては (2.5.P48) を参照。

ヒント

エルミート行列はユニタリ対角化できるので \( A = U \Lambda U^* \) と書ける。このとき非零固有値部分 \( \Lambda_r \) に注目すると、ランク \( r \) の構造が明確になる。さらに列分割 \( U = [V \; U_2] \) を用いると、\( A \) のフルランク分解が得られる。部分行列はこの分解を制限することで表せる。

解答例

(a) \( A = U \Lambda U^* \) において、\( \Lambda = \Lambda_r \oplus 0_{n-r} \) は実対角行列であり、対角成分は \( A \) の固有値である。ランクが \( r \) であるから、\( \Lambda_r \) の対角成分はすべて非零実数である。したがって

\det \Lambda_r = \lambda_1 \cdots \lambda_r \neq 0

であり、実数である。

(b) \( U = [V \; U_2] \) と分割すると、

A = U \Lambda U^* = [V \; U_2] \begin{pmatrix} \Lambda_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} V^* \\ U_2^* \end{pmatrix}

より、

A = V \Lambda_r V^*

が従う。これは \( A \) のフルランク分解である。

(c) 指数集合 \( \alpha, \beta \) に対して部分行列をとると、

A[\alpha, \beta] = V_\alpha \Lambda_r V_\beta^*

となる。特に主小行列については、

\det A[\alpha] = \det(V_\alpha \Lambda_r V_\alpha^*) = (\det V_\alpha)(\det \Lambda_r)(\overline{\det V_\alpha}) = |\det V_\alpha|^2 \det \Lambda_r

である。また同様にして、

\det A[\alpha, \beta] \det A[\beta, \alpha] = \det(V_\alpha \Lambda_r V_\beta^*) \det(V_\beta \Lambda_r V_\alpha^*) = \det A[\alpha] \det A[\beta]

が従う。

(d) \( A[\alpha] = V_\alpha \Lambda_r V_\alpha^* \) から

\det A[\alpha] = |\det V_\alpha|^2 \det \Lambda_r

である。ここで \( |\det V_\alpha|^2 \geq 0 \) であり、ある \( \alpha \) に対して \( \det V_\alpha \neq 0 \) となるので、少なくとも1つのサイズ \( r \) の主小行列式は非零である。またすべての主小行列式は \( \det \Lambda_r \) の符号に従うため、同符号となる。