4.1.P10
4.1.問題10
\(A \in M_n\) がエルミートであることは \(iA\) が歪エルミートであることと同値であることを示せ。歪エルミート行列 \(B \in M_n\) について、
(a) \(B\) の固有値は純虚数である、
(b) \(B^2\) の固有値は実で非正であり、かつ \(B = 0\) のときに限りすべての固有値が 0 であることを示せ。
ヒント
まず \( A = A^* \) と \( iA = -(iA)^* \) の関係を確認する。次に固有値については、固有ベクトル \(x\) に対して \( x^*Bx \) を考えると、スカラーとしての性質から固有値の実部や虚部に関する情報が得られる。さらに \(B^2\) の固有値は \(B\) の固有値の2乗であることを用いる。
解答例
まず、\( A \in M_n \) に対して
(iA)^* = -i A^*
であるから、
A = A^* \iff (iA)^* = -iA
が成り立つ。したがって \( A \) がエルミートであることと \( iA \) が歪エルミートであることは同値である。
次に、歪エルミート行列 \( B \) に対して \( B^* = -B \) が成り立つ。
(a) \( Bx = \lambda x \) を満たす固有ベクトル \( x \ne 0 \) をとる。このとき
x^* B x = \lambda x^* x
一方で共役をとると
(x^* B x)^* = x^* B^* x = x^* (-B) x = - x^* B x
したがって \( x^* B x \) は純虚数であり、
\lambda x^* x \in i\mathbb{R}
より \( \lambda \) は純虚数である。
(b) \( B \) の固有値を \( \lambda \) とすると、(a) より \( \lambda = i\mu \)（\( \mu \in \mathbb{R} \)）と書ける。このとき
B^2 x = \lambda^2 x = (i\mu)^2 x = -\mu^2 x
したがって \( B^2 \) の固有値はすべて実数で非正である。
さらに、すべての固有値が 0 であるならば \( \mu = 0 \) であり、\( \lambda = 0 \) であるから \( B \) のすべての固有値は 0 である。歪エルミート行列は正規行列であるため対角化可能であり、このとき \( B = 0 \) が従う。
逆に \( B = 0 \) であれば明らかに \( B^2 = 0 \) であり、固有値はすべて 0 である。
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