[行列解析3.5.P3]

3.5.問題3

\( A, B \in M_n \) をユニット三角相似（unit triangularly equivalent）であるというのは、ある単位下三角行列 \( L \) と単位上三角行列 \( U \) が存在して \( A = L B U \) と表されることを意味する。次の事項を説明せよ：

(a) ユニット三角相似は \( M_n \) および \( GL(n, \mathbb{C}) \) 上で同値関係である理由。

(b) \( P, D, P', D' \in M_n \) が与えられ、\( P \) と \( P' \) が置換行列、\( D \) と \( D' \) が非特異対角行列の場合、次の条件が成り立つことを示せ：

P D = P' D' \quad \text{ならばかつそのときのみ} \quad P = P' \text{かつ} D = D'

(d) \( M_n \) の二つの一般化置換行列は、一致する場合に限りユニット三角相似である。

(e) n×n の一般化置換行列は、\( GL(n, \mathbb{C}) \) 上のユニット三角相似の同値関係に対する標準行列集合を形成する。