[行列解析3.5.2]補題

3.5.2

補題 3.5.2.

\( A \in M_n \) とし、\( A = LU \) がLU分解であると仮定する。任意の2×2ブロック分割

A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix},\quad L = \begin{bmatrix} L_{11} & 0 \\ L_{21} & L_{22} \end{bmatrix},\quad U = \begin{bmatrix} U_{11} & U_{12} \\ 0 & U_{22} \end{bmatrix}

ただし \( A_{11}, L_{11}, U_{11} \in M_k \)、かつ \( k \leq n \) とする。このとき \( A_{11} = L_{11}U_{11} \) が成り立つ。したがって、\( A \) の各順序主小行列はLU分解を持ち、その因子はそれぞれ \( L \) と \( U \) の対応する順序主小行列である。