[行列解析3.5.1]定義

3.5.1

定義 3.5.1. \( A \in M_n \) とする。もし \( L \in M_n \) が下三角行列であり、\( U \in M_n \) が上三角行列であるとき、分解

A = LU

を \( A \) の LU分解 (LU factorization) と呼ぶ。

演習. \( A \in M_n \) がLU分解をもつとき、もし \( L \) （それぞれ \( U \)）が正則であるならば、\( L \) （それぞれ \( U \)）が単位下三角（それぞれ単位上三角）であるLU分解を持つことと同値である理由を説明せよ。

ヒント: もし \( L \) が正則であるなら、次のように書ける：

L = L' D

ここで \( L' \) は単位下三角行列、\( D \) は対角行列である。