3.4.問題4
3.4.P4
\(A \in M_n\) の異なる固有値を \(\lambda_1,\ldots,\lambda_d\)、それぞれの指数を \(q_1,\ldots,q_d\) とする。
(a) 次を示せ：
\dim C(A) = \sum_{j=1}^d \sum_{i=1}^{q_j} w_i(A,\lambda_j)^2
(b) \(\dim C(A) \ge n\) であり、等号成立は \(A\) が非退化（nonderogatory）であるとき、かつそのときに限ることを示せ。
(c) 各固有値 \(\lambda_j\) のセグレ特性（Segre characteristic）を \(s_i(A,\lambda_j), \, i=1,\ldots,w_1(A,\lambda_j)\) とする。既知の結果として次がある：
\dim C(A) = \sum_{j=1}^d \sum_{i=1}^{w_1(A,\lambda_j)} (2i-1)\, s_i(A,\lambda_j)
（参考：Horn and Johnson (1991), 4.4節の問題9）。
次を説明せよ：
\sum_{j=1}^d \sum_{i=1}^{q_j} w_i(A,\lambda_j)^2
=
\sum_{j=1}^d \sum_{i=1}^{w_1(A,\lambda_j)} (2i-1)\, s_i(A,\lambda_j)
(3.1.16a) の行列について、この恒等式を検証せよ。
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