3.4問題集
問題
3.4.P1
\(A \in M_n(\mathbb{R})\) で \(A^2=-I_n\) を満たすと仮定する。このとき、\(n\) は偶数であり、可逆行列 \(S \in M_n(\mathbb{R})\) が存在して
S^{-1}AS =
\begin{bmatrix}
0 & -I_{n/2} \\[4pt]
I_{n/2} & 0
\end{bmatrix}
が成り立つことを示せ。
以下の3問では、与えられた \(A \in M_n\) に対して、中心化代数 \(C(A)=\{B \in M_n : AB=BA\}\) を考える。これは \(A\) と可換な行列全体の集合である。
3.4.P2
なぜ \(C(A)\) が代数になるのかを説明せよ。
3.4.P3
\(J \in M_{13}\) を(3.1.16a)の行列とする。
(a) (3.4.2.7)を用いて \(\dim C(J)=65\) であることを示せ。
(b) 次を示せ：
w_1(J,0)^2 + w_2(J,0)^2 + w_3(J,0)^2 = 65
3.4.P4
\(A \in M_n\) の異なる固有値を \(\lambda_1,\ldots,\lambda_d\)、それぞれの指数を \(q_1,\ldots,q_d\) とする。
(a) 次を示せ：
\dim C(A) = \sum_{j=1}^d \sum_{i=1}^{q_j} w_i(A,\lambda_j)^2
(b) \(\dim C(A) \ge n\) であり、等号成立は \(A\) が非退化（nonderogatory）であるとき、かつそのときに限ることを示せ。
(c) 各固有値 \(\lambda_j\) のセグレ特性（Segre characteristic）を \(s_i(A,\lambda_j), \, i=1,\ldots,w_1(A,\lambda_j)\) とする。既知の結果として次がある：
\dim C(A) = \sum_{j=1}^d \sum_{i=1}^{w_1(A,\lambda_j)} (2i-1)\, s_i(A,\lambda_j)
（参考：Horn and Johnson (1991), 4.4節の問題9）。
次を説明せよ：
\sum_{j=1}^d \sum_{i=1}^{q_j} w_i(A,\lambda_j)^2
=
\sum_{j=1}^d \sum_{i=1}^{w_1(A,\lambda_j)} (2i-1)\, s_i(A,\lambda_j)
(3.1.16a) の行列について、この恒等式を検証せよ。
3.4.P5
\(A \in M_n\) を与え、\(A^2=0\) とする。\(r=\operatorname{rank}A\) とし、\(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_r\) を \(A\) の正の特異値とする。このとき、\(A\) はユニタリ相似で次の形に変形できることを示せ：
\begin{bmatrix}
0 & \sigma_1 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
\oplus \cdots \oplus
\begin{bmatrix}
0 & \sigma_r \\
0 & 0
\end{bmatrix}
\oplus 0_{\,n-2r}
さらに、同じサイズの自壊行列（self-annihilating matrix）2つがユニタリ相似であるのは、それらが同じ特異値をもつ場合、すなわちユニタリ同値である場合に限ることを説明せよ。別のアプローチについては (2.6.P24) を参照せよ。
3.4.P6
\(A \in M_2(\mathbb{R})\) が次の行列に相似であることを示せ：
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
-1 & 1
\end{bmatrix}
ただし、それは次の形の行列であるとき、かつそのときに限る：
A =
\begin{bmatrix}
1+\alpha & \dfrac{1+\alpha^2}{\beta} \\
-\beta & 1-\alpha
\end{bmatrix},
\quad \alpha,\beta \in \mathbb{R},\ \beta \neq 0
3.4.P7
(3.4.2.10b)で述べられた同時相似変換は、「Weyr」を「ジョルダン」に置き換えた場合には必ずしも可能ではないことを示す例を詳しく説明せよ。
次を定義する：
J =
\begin{bmatrix}
J_2(0) & 0 \\
0 & J_2(0)
\end{bmatrix},
\quad
A =
\begin{bmatrix}
0 & I_2 \\
J_2(0) & 0
\end{bmatrix}
(a) \(A\) のブロックは上三角テプリッツ行列であることに注目し、なぜ \(A\) が \(J\) と可換でなければならないのか（計算なしで）説明せよ。
(b) 可換族 \(\{J,A\}\) に対し、\(J\) をジョルダン標準形に、かつ \(A\) を上三角形に変換する同時相似変換が存在すると仮定する。すなわち、可逆行列 \(S=[s_{ij}] \in M_4\) が存在して
S^{-1}JS = J,
\quad S^{-1}AS = T = [t_{ij}] \ (\text{上三角行列})
とする。このとき次を確認せよ：
S =
\begin{bmatrix}
s_{11} & s_{12} & s_{13} & s_{14} \\
0 & s_{11} & 0 & s_{13} \\
s_{31} & s_{32} & s_{33} & s_{34} \\
0 & s_{31} & 0 & s_{33}
\end{bmatrix},
\quad
AS =
\begin{bmatrix}
s_{31} & * & * & * \\
* & s_{31} & * & * \\
0 & s_{11} & * & * \\
* & * & * & *
\end{bmatrix}
ST =
\begin{bmatrix}
s_{11}t_{11} & * & * & * \\
* & s_{11}t_{22} & * & * \\
s_{31}t_{11} & s_{31}t_{12}+s_{32}t_{22} & * & * \\
* & * & * & *
\end{bmatrix}
（ここで * の成分は議論に無関係である）。
(c) \(s_{31}=0\) かつ \(s_{11}=0\) を導け。なぜこれは矛盾となるのか説明せよ。
(d) よって、(b) で主張された性質を満たす \(\{J,A\}\) の同時相似変換は存在しないことを結論せよ。
3.4.P8
ワイル標準形とジョルダン標準形の間の置換相似を構成するアルゴリズムは、標準ヤング図形（Young tableau）として知られる興味深い数学的対象を含む。例えば、\(J = J_3(0)\oplus J_2(0)\in M_5\) を考える。これはワイル特性 \(w_1=2,\; w_2=2,\; w_3=1\) を持つ。
(a) この行列に対応する点図（dot diagram、3.1.P11）とワイル標準形が次であることを確認せよ：
\begin{array}{cc}
• & • \\
• & • \\
• &
\end{array}\quad
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 &
\end{array} \quad
W =
\begin{bmatrix}
0_{2} & I_{2} & \\
& 0_{2} & G_{2,1} \\
& & 0_{1}
\end{bmatrix} \in M_5点図：\(\begin{array}{cc} • & • \\ • & • \\ • & \\ \end{array} \) ワイル標準形：\( W = \begin{bmatrix} 0_{2} & I_{2} & \\ 0_{2} & 0_{2} & G_{2,1} \\ 0_{1} & 0_{1} & 0_{1} \end{bmatrix} \in M_5 \)
点図に左から右、行ごとに上から下へ連続する整数 \(1,\ldots,5\) を貼り付ける（このラベル付けされた点図がヤング表（Young tableau）である）。
次に、ラベル付けした図を列ごとに上から下へ、左から右へ読んでいき、その得られた列を用いて置換σを構成する。
ヤング表：\( \begin{array}{cc}1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 &\end{array} \)このヤング表は置換σを与える：\( \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 3 & 5 & 2 & 4 \end{pmatrix}\)
置換σに対応する置換行列 \(P=[e_1\; e_3\; e_5\; e_2\; e_4]\in M_5\) （単位行列 \(I_5\) の列をσで並べ替えたもの）を作る。すると直接確かめられるように \(J = P^T W P\)、したがって \(W = P J P^T\) が成り立つ。
一般に、与えられたワイル形 \(W\in M_n\) とそれに対応するジョルダン形 \(J\) の間の置換相似を作るには、まずワイル特性の点図に対して各行を左から右へ、上から下へ順に連続整数 \(1,2,\ldots,n\) をラベルしてヤング表を作る。次にヤング表を列ごとに上から下へ、左から右へ読み、その順序で得られた数列を第2行に置いた行列 \(\sigma\in M_{2,n}\) を作る（第1行は \(1,2,\ldots,n\)）。最後に \(\sigma\) の第2行が指定する順序で単位行列 \(I_n\) の列を並べ替えて置換行列 \(P=[e_{\sigma_{2,1}}\, e_{\sigma_{2,2}}\,\cdots\, e_{\sigma_{2,n}}]\) を作る。すると \(J = P^T W P\) かつ \(W = P J P^T\) が成り立つ。
(b) なぜこのアルゴリズムが正しいのか説明せよ。
(c) このアルゴリズムを使って (3.1.16a) のジョルダン行列とそのワイル標準形との間の置換相似を構成し、それが実際に働くことを確かめよ。
3.4.P9
与えられた正方行列 \(A\) のワイル標準形は、ジョルダン標準形（3.2.9）と同様に、\(A\) の類似類に属する行列のうち全ての非対角の非零要素の数が最小であることを説明せよ。
3.4.P10
ジョルダン行列 \(J\) のワイル標準形が \(J\) 自身と一致するのは、任意の固有値 \(\lambda\) について、(i) \(J\) に \(\lambda\) を固有値とするジョルダンブロックが正確に1個だけある、または (ii) \(\lambda\) に対応するすべてのジョルダンブロックが \(1\times 1\) である、このいずれかが成り立つとき、かつそのときに限ることを示せ。
3.4.P11
\(A \in M_n\) を与える。\(A\) のワイル標準形とジョルダン標準形が同じであることと、次のいずれかが成り立つことは同値であることを示せ：\(A\) が非退化（nonderogatory）である、または対角化可能である、あるいは行列 \(B,C\) が存在して (a) \(B\) は非退化、(b) \(C\) は対角化可能、(c) \(B\) と \(C\) は共通の固有値を持たない、(d) \(A\) は \(B\oplus C\) に相似である。
注記と参考文献。
ワイル特性と標準形は Eduard Weyr が報告した（E. Weyr, R´epartition des matrices en esp`eces et formation de toutes les esp`eces, C. R. Acad. Sci. Paris 100 (1885) 966–969; さらに詳しい論文 E. Weyr, Zur Theorie der bilinearen Formen, Monatsh. Math. und Physik 1 (1890) 163–236）。現代的な解説（ジョルダン標準形を事前に仮定しない導出を含む）として H. Shapiro, “The Weyr characteristic”, Amer. Math. Monthly 196 (1999) 919–929、および Clark, O’Meara, Vinsonhaler (2011) のモノグラフがある。標準分割に関する Belitskii の仕事や、ワイルブロックと可換な行列のブロック間の恒等式については G. Belitskii, “Normal forms in matrix spaces”, Integral Equations Operator Theory 38 (2000) 251–283、および V. V. Sergeichuk, “Canonical matrices for linear matrix problems”, Linear Algebra Appl. 317 (2000) 53–102 を参照せよ。ワイル標準形に関する多くの再発見や、可換族に対する定理（3.4.2.10b）の議論は K. C. O’Meara と C. Vinsonhaler の論文（Linear Algebra Appl. 412 (2006) 39–74）にも見られる。ユニタリ・ワイル標準形に関する元の参考は D. E. Littlewood, “On unitary equivalence”, J. London Math. Soc. 28 (1953) 314–322 である。なお、(3.4.P7) の例は Clark, O’Meara, Vinsonhaler (2011) から採られている。
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