3.4.2.3
定理 3.4.2.3.
行列 \( A \in M_n \) を考え、その固有値を \(\lambda_1, \ldots, \lambda_d\) とし、任意の順序で並べる。
すると、正則行列 \( S \in M_n \) が存在し、形 (3.4.2.1) のWeyrブロック \( W_1, \ldots, W_d \) が存在して、次の条件を満たす：
(a) 各 \( j = 1, \ldots, d \) について、\( W_j \) の唯一の固有値は \(\lambda_j\) である。
(b) 次が成り立つ：
A = S (W_1 \oplus \cdots \oplus W_d) S^{-1}
このとき、\( A \) が相似であるWeyr行列 \( W_1 \oplus \cdots \oplus W_d \) は、\( A \) と与えられた固有値の列挙によって一意に決まる。
すなわち、各 \( j = 1, \ldots, d \) について
W_j = W_A(\lambda_j)
したがって次が成り立つ：
A = S \begin{bmatrix}
W_A(\lambda_1) & & \\
& \ddots & \\
& & W_A(\lambda_d)
\end{bmatrix} S^{-1}
もし \( A \) があるWeyr行列に相似であるならば、その行列は
W_A = W_A(\lambda_1) \oplus \cdots \oplus W_A(\lambda_d)
の直和因子をある順番に並べ替えたものである。
また、もし \( A \) が実行列で、すべての固有値も実数であるならば、\( S \) は実行列として選ぶことができる。
証明.
先の考察より、\( W_A = W_A(\lambda_1) \oplus \cdots \oplus W_A(\lambda_d) \) と \( A \) は、それぞれの固有値に対応するWeyr特性を同一に持つことがわかる。
補題 3.1.18 により、\( W_A \) と \( A \) はともに同じジョルダン標準形に相似であるため、互いに相似である。
もし2つのWeyr行列が相似であるならば、それらは同じ固有値と、それぞれの固有値に対応する同じWeyr特性を持つ必要がある。
したがって、それらは（順序を変えて）同じWeyrブロックを含んでいることになる。
さらに、もし \( A \) とその全ての固有値が実数であるならば、\( W_A \) は実行列となり、(1.3.29) により \( A \) は実相似を通じて \( W_A \) に相似である。
ウェイヤー行列 \(W_A = W_A(\lambda_1)\oplus\cdots\oplus W_A(\lambda_d)\) は、前の定理において（直和因子の順序を入れ替えることを除いて）\(A\) のウェイヤー標準形である。
ウェイヤー標準形 \(W_A\) とジョルダン標準形 \(J_A\) は \(A\) に関する同じ情報を含むが、それぞれ情報の提示の仕方が異なる。
ウェイヤー形は \(A\) のウェイヤー特性を明示的に示すのに対し、ジョルダン形はセグレ特性（Segre characteristics）を明示的に示す。
点図（dot diagram、3.1.P11）を用いれば一方の形から他方の形を構成することができる。
さらに、\(W_A\) と \(J_A\) は置換相似（permutation similarity）である（参照(3.4.P8））。
練習問題.
与えられた \(\lambda \in \mathbb{C}\) について、ジョルダン行列 \(J = J_3(\lambda)\oplus J_2(\lambda)\) を考える。
なぜ \(w(J,\lambda) = (2,2,1)\) となるのかを説明せよ。
J =
\begin{bmatrix}
\lambda & 1 & 0 & & \\
0 & \lambda & 1 & & \\
0 & 0 & \lambda & & \\
& & & \lambda & 1 \\
& & & 0 & \lambda
\end{bmatrix},
\qquad
W_J(\lambda) =
\begin{bmatrix}
\lambda & 0 & 1 & 0 & \\
0 & \lambda & 0 & 1 & \\
& & \lambda & 0 & 1 \\
& & 0 & \lambda & 0 \\
& & & & \lambda
\end{bmatrix}
（上の行列表示はブロック構造を簡略化して示している。
練習として、点図やランクの差から \(w(J,\lambda)=(2,2,1)\) が導かれることを確認せよ。）
練習問題.
前の練習問題の行列 \(J\) と \(W_J\) は、非対角成分の非零要素の個数や全非零要素の個数が一致することを確認せよ。
練習問題.
\(A \in M_n\) の異なる固有値を \(\lambda_1,\ldots,\lambda_d\) とする。
(a) \(A\) が非退化（nonderogatory）であるとき、なぜ正の整数 \(p_1,\ldots,p_d\) が存在して、(i) 各 \(i=1,\ldots,d\) について \(w_1(A,\lambda_i)=\cdots=w_{p_i}(A,\lambda_i)=1\) かつ \(w_{p_i+1}(A,\lambda_i)=0\) が成り立ち、(ii) \(A\) のウェイヤー標準形はそのジョルダン標準形と一致するのか説明せよ。
(b) 各 \(i=1,\ldots,d\) について \(w_1(A,\lambda_i)=1\) ならば、なぜ \(A\) は非退化でなければならないのか説明せよ。
練習問題.
再び \(\lambda_1,\ldots,\lambda_d\) を \(A\in M_n\) の異なる固有値とする。
(a) \(A\) が対角化可能であるとき、(i) 各 \(i=1,\ldots,d\) について \(w_2(A,\lambda_i)=0\) であること、(ii) \(W_A(\lambda_i)=\lambda_i I_{w_1(A,\lambda_i)}\) が成り立つこと、(iii) \(A\) のウェイヤー標準形はジョルダン標準形と一致すること、を説明せよ。
(b) ある \(i\) について \(w_2(A,\lambda_i)=0\) ならば、なぜ \(w_1(A,\lambda_i)\) は \(\lambda_i\) の代数的重複度（常に幾何的重複度にも等しい）に等しいのか説明せよ。
(c) すべての \(i=1,\ldots,d\) について \(w_2(A,\lambda_i)=0\) であれば、なぜ \(A\) は対角化可能でなければならないのか説明せよ。
練習問題.
\(\lambda_1,\ldots,\lambda_d\) を \(A\in M_n\) の異なる固有値とする。各 \(i\) について「\(A\) の \(\lambda_i\) に対するジョルダンブロックの数は高々 \(p\) である」ことと「\(w_1(A,\lambda_i) \le p\)」であることは同値であり、これは各 \(i\) に対して \(W_A(\lambda_i)\) のすべての対角ブロックのサイズが最大でも \(p\times p\) であることと同値であることを説明せよ。
式 (3.2.4) では、1つの与えられた非退化行列と可換な行列全体の集合を調べた。そこを理解する鍵は、\(A\in M_k\) がジョルダンブロック \(J_k(\lambda)\) と可換であることが必要かつ十分に、\(A\) が上三角テプリッツ（upper triangular Toeplitz）行列であるということである（参照 3.2.4.3）。したがって、ある非退化ジョルダン行列 \(J\) と可換である行列は、\(J\) に合わせた直和分解において上三角テプリッツ行列の直和である。特にそれは上三角である。非退化行列のジョルダン標準形とウェイヤー標準形は同じであるが、退化（derogatory）行列ではジョルダン形とウェイヤー形が異なる場合があり、そのとき可換行列の構造に重要な違いが生じる。
練習問題.
\(J = J_2(\lambda)\oplus J_2(\lambda)\) とし、\(A\in M_4\) とする。次を示せ：
(a) \(W_J = \begin{bmatrix}\lambda I_2 & I_2 \\ 0_2 & \lambda I_2\end{bmatrix}\)。
(b) \(A\) が \(J\) と可換であることは、\(A=\begin{bmatrix}B & C \\ D & E\end{bmatrix}\) であり、各ブロック \(B,C,D,E\in M_2\) が上三角テプリッツであることと同値であることを示せ。
(c) \(A\) が \(W_J\) と可換であることは、\(A=\begin{bmatrix}B & C \\ 0 & B\end{bmatrix}\) の形をとることと同値であり、これはブロック上三角行列であることを示せ。
以下の補題は、ウェイヤーブロックと可換な任意の行列がブロック上三角でなければならないことを強制するウェイヤーブロックの特徴を特定する。
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