3.3 問題16
3.3.P16
\( A, B, C \in M_n \) とし、多項式 \( p_1(t), p_2(t) \) が存在して \( A = p_1(C), B = p_2(C) \) であるとする。
このとき \( A \) と \( B \) は可換である。
すべての可換な行列の組がこのようにして得られるのだろうか。
次のように、ある3×3の可換な行列の組が第三の行列の多項式としては表せない構成について詳しく説明せよ。
(a) \( A = J_2(0) \oplus J_1(0), B = J_3(0)^2 \) とする。このとき \( AB = BA = A^2 = B^2 = 0 \) であり、\(\{I, A, B\}\) は \( A(A, B) \)（\( A, B \) が生成する代数）の基底であり、\(\dim A(A, B) = 3\) であることを示せ。
(b) もし \( C \in M_3 \) と多項式 \( p_1(t), p_2(t) \) が存在して \( A = p_1(C), B = p_2(C) \) であるなら、\( A(A, B) \subset P(C) \) だから \(\dim P(C) \geq 3\)、さらに \(\dim P(C) = 3\)、したがって \( A(A, B) = P(C) \) である。
(c) \( C = \gamma I + \alpha A + \beta B \) とすると、\((C - \gamma I)^2 = 0\)、すなわち \( C \) の最小多項式の次数は高々2であり、\(\dim P(C) \leq 2\) となる。これは矛盾である。
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