3.2問題35
3.2.P35
この問題は (2.5.17) の部分的な逆を考察する。(a) \( A \in M_n \) が非退化 (nonderogatory) であるとする。もし \( A\overline{A} = \overline{A}A \) かつ \( AA^T = A^T A \) が成り立つなら、\( AA^* = A^*A \)、すなわち \( A \) が正規であることを示せ。(b) \( A \in M_2 \)、\( A\overline{A} = \overline{A}A \)、かつ \( AA^T = A^T A \) なら、\( A \) が正規であることを示せ。(c) (b) の含意は \( n=3 \) の場合にも成り立つが、知られている証明は技術的かつ煩雑である。より簡単な証明を見つけられるか。(d)
次の行列を定める：
B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}, \quad
C = \begin{bmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{bmatrix}, \quad
A = \begin{bmatrix} B & C \\ 0 & B \end{bmatrix} \in M_4
このとき \( A\overline{A} = \overline{A}A \)、かつ \( AA^T = A^T A \) が成り立つが、\( A \) は正規ではないことを示せ。
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