3.2問題29
3.2.P29
\( \lambda \in \mathbb{C} \)、\( A = J_k(\lambda) \)、\( B = [b_{ij}] \in M_k \) とし、\( C = AB - BA \) とする。もし \( C = 0 \) と仮定すると、(3.2.4.2) より \( B \) は上三角トープリッツ行列となり、すべての固有値は同じになる。しかし、ここでは弱い仮定 \( AC = CA \) を置く。(a) このとき \( C \) が上三角トープリッツかつ冪零、すなわち \( C = [\gamma_{j-i}]_{i,j=1}^k \) であり、\(\gamma_{-k+1} = \cdots = \gamma_0 = 0\)、\(\gamma_1, \ldots, \gamma_{k-1} \in \mathbb{C}\) であることを説明せよ。(b) この形を用いて、\( B \) が上三角（ただしトープリッツではない）であり、その固有値が
b_{11},\; b_{11} + \gamma_1,\; b_{11} + 2\gamma_1,\; \ldots,\; b_{11} + (k-1)\gamma_1
となり、等差数列をなすことを示せ。
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