[行列解析3.2.P6]微分作用素の基底表示のジョルダン標準形

3.2.P6

3.2問題6

線形変換 \( \frac{d}{dt} : p(t) \mapsto p'(t) \) が、次数が最大3の多項式全体のベクトル空間で作用するとき、その基底表現は基底 \( B = \{1, t, t^2, t^3\} \) に関して次のように表されます。

\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

この行列のジョルダン標準形は何ですか？

与えられた行列は多項式空間の基底 \( B=\{1,t,t^2,t^3\} \) に関する微分作用素の表現である。まず固有値を求めるために特性多項式 \( \det(A-\lambda I) \) を考える。

この行列は上三角行列であり、対角成分がすべて \(0\) なので固有値はすべて \( \lambda=0 \) である。次に固有空間の次元を求め、ジョルダンブロックの大きさを判断する。

固有空間の次元が1であれば、1つの大きさ4のジョルダンブロックになる。

与えられた行列を

A= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

とする。この行列は上三角行列であるため、固有値は対角成分から読み取れる。したがって固有値は

\lambda=0

のみであり、その代数的重複度は4である。

次に固有ベクトルを求めるために \( Ax=0 \) を解く。

A \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}

これを計算すると

\begin{cases} x_2=0 \\ 2x_3=0 \\ 3x_4=0 \end{cases}

となるので \( x_2=x_3=x_4=0 \) であり、\( x_1 \) は自由である。したがって固有ベクトルは \( (1,0,0,0)^{\top} \) の倍数で表される。

よって固有空間の次元は1であり、幾何学的重複度は1である。

代数的重複度は4で幾何学的重複度は1であるため、ジョルダンブロックは1つだけで、その大きさは4になる。したがってジョルダン標準形は

J= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

である。