3.2問題集
3.2.P1
\( F = \{ A_{\alpha} : \alpha \in I \} \subset M_n \) を添字集合 \( I \) によって添字付けられた行列族とする。ある非退化（nonderogatory）な行列 \( A_0 \in F \) が存在し、すべての \( \alpha \in I \) に対して \( A_{\alpha} A_0 = A_0 A_{\alpha} \) が成り立つと仮定する。このとき、すべての \( \alpha \in I \) に対して、次数が最大で \( n-1 \) の多項式 \( p_{\alpha}(t) \) が存在して \( A_{\alpha} = p_{\alpha}(A_0) \) が成り立つことを示せ。したがって、\( F \) は可換族である。
3.2.P2
\( A \in M_n \) とする。もし \( A \) と可換なすべての行列が \( A \) の多項式であるならば、\( A \) が非退化（nonderogatory）であることを示せ。
3.2.P3
\( A = B + iC \in M_n \) とし、ここで \( B \) と \( C \) は実行列である (0.2.5)。さらに、\( A \) のジョルダン標準形を \( J \) とする。実表現
R_1(A) = \begin{bmatrix} B & C \\ -C & B \end{bmatrix} \in M_{2n}
を (1.3.P20) で議論した。このとき、なぜ \( J \oplus \overline{J} \) が \( R_1(A) \) のジョルダン標準形となり、さらに \( \lambda \) が実数であっても、その形が \( J_k(\lambda) \oplus J_k(\overline{\lambda}) \) というペアの直和になるのかを説明せよ。
3.2.P4
\( A \in M_n \) が特異行列であり、その階数を \( r = \text{rank}\,A \) とする。(2.4.P28) で、\( A \) を消去する次数 \( r+1 \) の多項式が存在することを学んだ。次の議論の詳細を補い、\( h(t) = p_A(t)/t^{\,n-r-1} \) がそのような多項式であることを示せ。
\( A \) のジョルダン標準形を
J \oplus J_{n_1}(0) \oplus \cdots \oplus J_{n_k}(0)
とする。ただし、ジョルダン行列 \( J \) は非特異である。さらに \(\nu = n_1 + \cdots + n_k\) とし、固有値 0 の指数を \( n_{\max} = \max_i n_i \) とする。
(a) なぜ \( p_A(t) = p_1(t) t^{\nu} \) と書け、ここで \( p_1(t) \) は多項式であり \( p_1(0) \neq 0 \) であるのかを説明せよ。
(b) \( p(t) = p_1(t) t^{n_{\max}} \) が \( A \) を消去することを示し、したがって
p_A(t) = \big( p_1(t) t^{n_{\max}} \big) t^{\nu - n_{\max}}
となることを導け。
(c) なぜ \( k = n-r \)、かつ \(\nu - n_{\max} \geq k-1 = n-r-1 \) が成り立ち、さらに \( h(A) = 0 \) となるのかを説明せよ。
3.2.P5
行列 \( A = \begin{bmatrix} i & 1 \\ 1 & -i \end{bmatrix} \) のジョルダン標準形は何ですか？
3.2.P6
線形変換 \( \frac{d}{dt} : p(t) \mapsto p'(t) \) が、次数が最大3の多項式全体のベクトル空間で作用するとき、その基底表現は基底 \( B = \{1, t, t^2, t^3\} \) に関して次のように表されます。
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
この行列のジョルダン標準形は何ですか？
3.2.P7
\( A^3 = I \) を満たす \( A \in M_n \) の可能なジョルダン形は何ですか？
3.2.P8
特性多項式 \( p_A(t) = (t+3)^4 (t-4)^2 \) を持つ \( A \in M_6 \) の可能なジョルダン標準形は何ですか？
3.2.P9
\( k \geq 2 \) とする。 \(\mathrm{adj}\, J_k(\lambda)\) のジョルダン標準形が、\(\lambda \neq 0\) のとき \( J_k(\lambda^{k-1}) \)、\(\lambda = 0\) のとき \( J_2(0) \oplus 0_{k-2} \) である理由を説明しなさい。
3.2.P10
ある正則行列 \( A \in M_n \) のジョルダン標準形が \( J_{n_1}(\lambda_1) \oplus \cdots \oplus J_{n_k}(\lambda_k) \) であるとする。このとき、\(\mathrm{adj}\, A\) のジョルダン標準形が \( J_{n_1}(\mu_1) \oplus \cdots \oplus J_{n_k}(\mu_k) \) となり、各 \(\mu_i = \lambda_i^{\,n_i - 1} \prod_{j \neq i} \lambda_j^{\,n_j}\) である理由を説明しなさい。
3.2.P11
ある非正則行列 \( A \in M_n \) のジョルダン標準形が \( J_{n_1}(\lambda_1) \oplus \cdots \oplus J_{n_{k-1}}(\lambda_{k-1}) \oplus J_{n_k}(0) \) であるとする。このとき、\(\mathrm{adj}\, A\) のジョルダン標準形が \( n_k \geq 2 \) の場合は \( J_2(0) \oplus 0_{n-2} \)、\( n_k = 1 \) の場合は \(\prod_{i=1}^{k-1} \lambda_i^{\,n_i} \oplus 0_{n-1}\) である理由を説明しなさい。前者は \(\mathrm{rank}\, A \lt n-1\) の場合に対応し、後者は \(\mathrm{rank}\, A = n-1\) の場合に対応する。
3.2.P12
\( A \) のジョルダン標準形に2つ以上の非正則ジョルダンブロックが含まれる場合、\(\mathrm{adj}\, A = 0\) となる理由を説明しなさい。
3.2.P13
（相似に関する消去定理）\( A \in M_n \)、\( B, C \in M_m \) とする。このとき、
\begin{bmatrix}
A & 0 \\
0 & B
\end{bmatrix}
\sim
\begin{bmatrix}
A & 0 \\
0 & C
\end{bmatrix}
が成り立つのは、\( B \) が \( C \) と相似である場合に限ることを示しなさい。
3.2.P14
\( B, C \in M_m \) および正の整数 \( k \) が与えられたとする。\( B \oplus \cdots \oplus B \)（\( k \) 個の直和）と \( C \oplus \cdots \oplus C \)（\( k \) 個の直和）が相似であるのは、\( B \) と \( C \) が相似である場合に限ることを示しなさい。
3.2.P15
\( A \in M_n \)、\( B, C \in M_m \) が与えられたとする。\( A \oplus (B \oplus \cdots \oplus B) \)（\( k \) 個の直和）と \( A \oplus (C \oplus \cdots \oplus C) \)（\( k \) 個の直和）が相似であるのは、\( B \) と \( C \) が相似である場合に限ることを示しなさい。
3.2.P16
次のことを示せ。\(A \in M_n\) のジョルダン標準形が \(J_{n_1}(\lambda_1)\oplus\cdots\oplus J_{n_k}(\lambda_k)\) であり、かつ \(A\) が正則であるとする。すると \(A^2\) のジョルダン標準形は
J_{n_1}(\lambda_1^2)\oplus\cdots\oplus J_{n_k}(\lambda_k^2)
となる、すなわち各ジョルダンブロックのサイズは変わらず固有値が二乗される。しかし \(J_m(0)^2\) は \(m\ge 2\) のとき \(J_m(0^2)=J_m(0)\) とはならないことを説明せよ。
3.2.P17
\(A\in M_n\) とする。次を示せ：\(\mathrm{rank}\,A=\mathrm{rank}\,A^2\) であることは、固有値 \(\lambda=0\) の幾何的重複度と代数的重複度が等しいこと（すなわちジョルダン標準形中の \(\lambda=0\) に対応するジョルダンブロックがすべて \(1\times1\) であること）と同値である。また、\(A\) が対角化可能であることは、すべての \(\lambda\in\sigma(A)\) について \(\mathrm{rank}(A-\lambda I)=\mathrm{rank}(A-\lambda I)^2\) が成り立つことと同値であることを説明せよ。
3.2.P18
\(A\in M_n\) とする。3.2.7 で述べたジョルダン分解 \(A=A_D+A_N\)（\(A_D\) は対角化可能成分、\(A_N\) は冪零成分、かつ互いに可換）は一意であることを示せ。すなわち、もし (a) \(A=B+C\)、(b) \(B\) と \(C\) が可換、(c) \(B\) は対角化可能、(d) \(C\) は冪零、を満たすならば \(B=A_D\) かつ \(C=A_N\) であることを示せ。ヒント：\(A_D=p(A),\;A_N=q(A)\) となる多項式 \(p,q\) が存在することを利用せよ。次の点の詳細を示せ： (a) \(B,C\) は \(A\) と可換する；(b) \(B,C\) は \(A_D,A_N\) と可換する；(c) \(B\) と \(A_D\) は同時対角化可能で、ゆえに \(A_D-B\) は対角化可能；(d) \(C\) と \(A_N\) は同時上三角化可能で、ゆえに \(C-A_N\) は冪零；(e) \(A_D-B=C-A_N\) は同時に対角化可能かつ冪零なので零行列である。
3.2.P19
\(A\in M_n\)、\(\lambda\) を \(A\) の固有値とする。(a) 次の2条件が同値であることを示せ： (i) \(\lambda\) に対応する \(A\) のすべてのジョルダンブロックのサイズが 2 以上である；(ii) \(\lambda\) に対応する任意の固有ベクトルは \(A-\lambda I\) の像に含まれる。
(b) 次の5条件が互いに同値であることを示せ：
(i) あるジョルダンブロックが \(1\times1\) である；
(ii) \(Ax=\lambda x\) を満たす非零ベクトル \(x\) が存在し、かつ \(x\) は \(A-\lambda I\) の像に属さない；
(iii) \(Ax=\lambda x\) を満たす非零ベクトル \(x\) が存在し、かつ \(x\) は \(A^*-\overline{\lambda}I\) の零空間に直交していない；
(iv) 非零ベクトル \(x,y\) が存在して \(Ax=\lambda x,\; y^*A=\lambda y^*\) かつ \(x^*y\neq 0\)；
(v) \(A\) はある \(B\in M_{n-1}\) に相似であり、\(A\sim [\lambda]\oplus B\) である。
3.2.P20
\(A,B\in M_n\) を与える。(a) AB が BA に相似であることは、すべての \(k=1,2,\dots,n\) について \(\mathrm{rank}(AB)^k=\mathrm{rank}(BA)^k\) が成り立つことと同値であることを示せ。
(b) \(r=\mathrm{rank}\,A=\mathrm{rank}\,AB=\mathrm{rank}\,BA\) とすると、AB は BA に相似であることを示せ。ヒント：任意の正則 \(S,T\) に対して \(A\) を \(S A T\)、\(B\) を \(T^{-1} B S^{-1}\) に置き換えられることを説明し、適切な \(S,T\) を選んで \(S A T = I_r\oplus 0_{n-r}\) の形にする。その後 \(A=I_r\oplus 0_{n-r}\) と \(B=[B_{ij}]_{i,j=1}^2\) を用いて計算し、各種ランク等式を導け。
3.2.P21
\(A=\begin{pmatrix} J_2(0) & 0 \\ x^T & 0 \end{pmatrix}\in M_3\) で \(x^T=[1\;0]\)、\(B=I_2\oplus[0]\in M_3\) とする。AB のジョルダン標準形が \(J_3(0)\) であり、BA のジョルダン標準形が \(J_2(0)\oplus J_1(0)\) であることを示せ。
3.2.P22
\(A\in M_n\) に対して、\(A A^D\) と \(I-A A^D\) が射影（projection）であり、かつ \(A A^D(I-A A^D)=0\) であることを示せ。
3.2.P23
\(A\in M_n\)、零の固有値の指数を \(q\) とし、与えられた整数 \(k\ge q\) とする。次を示せ：
A^D = \lim_{t\to 0} (A^{k+1} + tI)^{-1} A^k
（ここで極限は \(t\) を正の実数で 0 に近づける極限で良い。）
3.2.P24
この問題は (2.4.P12) の類似である。\( A, B \in M_n \) とし、\( \lambda_1, \ldots, \lambda_d \) を \( A \) の異なる固有値とする。さらに \( D = AB - BA^T \) とし、\( AD = DA^T \) が成り立つと仮定する。(a) \( D \) が特異であることを示せ。(b) \( A \) が対角化可能ならば、\( D = 0 \)、すなわち \( AB = BA^T \) を示せ。(c) \( DA = A^T D \) かつ \( AD = DA^T \) であるなら、\( D \) が冪零であることを示せ。(d) \( A \) が非退化 (nonderogatory) であると仮定する。このとき (3.2.4.4) より \( D \) が対称であることが保証される。さらに、階数が \( \mathrm{rank}\,D \leq n-d \) であることを示し、固有値 0 の幾何的重複度が少なくとも \( d \) であることを導け。
3.2.P25
\( A \in M_n \) が与えられ、\( A^2 \) が非退化であると仮定する。このとき以下を説明せよ。(a) \( A \) も非退化である。(b) \( \lambda \) が \( A \) の非零固有値ならば、\(-\lambda\) は \( A \) の固有値ではない。(c) \( A \) が特異ならば、固有値 0 の代数的重複度は 1 である。(d) \(\mathrm{rank}\,A \geq n-1\)。 (e) 多項式 \( p(t) \) が存在して \( A = p(A^2) \) となる。
3.2.P26
\( A, B \in M_n \) が与えられ、\( A^2 \) が非退化であると仮定する。もし \( AB = B^T A \) かつ \( BA = AB^T \) が成り立つなら、\( B \) が対称であることを示せ。
3.2.P27
(a) 各 \( k = 1, 2, \ldots \) について、\(\mathrm{adj}\,J_k(0)\) が \( J_2(0) \oplus 0_{k-2} \) に相似であることを示せ。(b) \( A \in M_n \) が冪零であり、\(\mathrm{rank}\,A = n-1\) ならば、\( A \) が \( J_n(0) \) に相似であることを説明せよ。(c) \( A \in M_n \) が冪零ならば、\((\mathrm{adj}\,A)^2 = 0\) であることを示せ。
3.2.P28
\( A, x, y, \lambda \) が (3.2.13.1) の仮定を満たし、(3.2.13.2) が \( A \) のジョルダン標準形であるとする。\( v \in \mathbb{C}^n \) を \( v^*x = 1 \) を満たす任意のベクトルとし、Google 行列 \( A(c) = cA + (1-c)\lambda x v^* \) を考える。もし \( c \neq 0 \) かつ各 \( j = 2, \ldots, n \) について \( c\lambda_j \neq \lambda \) ならば、\( A(c) \) のジョルダン標準形が
[ \lambda ] \oplus J_{n_1}(c\nu_1) \oplus \cdots \oplus J_{n_k}(c\nu_k)
であることを示せ。(1.2.P21) と比較せよ。
3.2.P29
\( \lambda \in \mathbb{C} \)、\( A = J_k(\lambda) \)、\( B = [b_{ij}] \in M_k \) とし、\( C = AB - BA \) とする。もし \( C = 0 \) と仮定すると、(3.2.4.2) より \( B \) は上三角トープリッツ行列となり、すべての固有値は同じになる。しかし、ここでは弱い仮定 \( AC = CA \) を置く。(a) このとき \( C \) が上三角トープリッツかつ冪零、すなわち \( C = [\gamma_{j-i}]_{i,j=1}^k \) であり、\(\gamma_{-k+1} = \cdots = \gamma_0 = 0\)、\(\gamma_1, \ldots, \gamma_{k-1} \in \mathbb{C}\) であることを説明せよ。(b) この形を用いて、\( B \) が上三角（ただしトープリッツではない）であり、その固有値が
b_{11},\; b_{11} + \gamma_1,\; b_{11} + 2\gamma_1,\; \ldots,\; b_{11} + (k-1)\gamma_1
となり、等差数列をなすことを示せ。
3.2.P30
\( A \in M_n \)、部分空間 \( S \subset \mathbb{C}^n \) が与えられたとする。次の証明の概要に詳細を補い、\( S \) が \( A \) の不変部分空間であることと、ある \( B \in M_n \) が存在して \( AB = BA \) かつ \( S \) が \( B \) の零空間であることが同値であることを示せ。Only if: \( B(AS) = A(BS) = A\{0\} = \{0\} \) より \( AS \subset S \)。If: (a) \( S = \{0\} \) または \(\mathbb{C}^n\) ならば、\( B = I \) または \( B = 0 \) とすればよい。したがって \( 1 \leq \dim S \leq n-1 \) と仮定できる。(b) \( A \) に相似な行列に対して示せば十分である（理由を示せ）、したがって
A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{bmatrix}, \quad A_{11} \in M_k
と仮定できる (1.3.17(c) を参照)。非特異行列 \( X \in M_n \) が存在して \( AX = XA^T \) が成り立つ (3.2.3.1 を参照)。(d) 非特異行列 \( Y \in M_{n-k} \) が存在して \( YA_{22} = A_{22}^T Y \) が成り立つ。ここで \( C = 0_k \oplus Y \) とおく。(e) このとき \( CA = A^T C \)。(f) \( B = XC \) とすると、\( AB = AXC = XA^T C = XCA = BA \) が成り立つ。
3.2.P31
\( A \in M_n \)、部分空間 \( S \subset \mathbb{C}^n \) が与えられたとする。\( S \) が \( A \) の不変部分空間であることと、ある \( B \in M_n \) が存在して \( AB = BA \) かつ \( S \) が \( B \) の値域であることが同値であることを示せ。
3.2.P32
\( A, B \in M_n \) とし、\( C = AB - BA \) とおく。さらに \( A \) が \( C \) と可換とする。もし \( n = 2 \) ならば、\( A \) と \( B \) は同時に上三角化可能であることを示せ。(2.4.P12(f)) より、\( n \gt 2 \) の場合には同時三角化は一般には成り立たないことがわかる。
3.2.P33
\( A \in M_n \) とする。\( A^* \) が非退化であることと、\( A \) が非退化であることは同値であることを説明せよ。
3.2.P34
\( A, B \in M_n \) とする。\( A \) が非退化であり、かつ \( B \) が \( A \) と \( A^* \) の両方と可換であると仮定する。このとき \( B \) が正規であることを示せ。
3.2.P35
この問題は (2.5.17) の部分的な逆を考察する。(a) \( A \in M_n \) が非退化 (nonderogatory) であるとする。もし \( A\overline{A} = \overline{A}A \) かつ \( AA^T = A^T A \) が成り立つなら、\( AA^* = A^*A \)、すなわち \( A \) が正規であることを示せ。(b) \( A \in M_2 \)、\( A\overline{A} = \overline{A}A \)、かつ \( AA^T = A^T A \) なら、\( A \) が正規であることを示せ。(c) (b) の含意は \( n=3 \) の場合にも成り立つが、知られている証明は技術的かつ煩雑である。より簡単な証明を見つけられるか。(d)
次の行列を定める：
B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}, \quad
C = \begin{bmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{bmatrix}, \quad
A = \begin{bmatrix} B & C \\ 0 & B \end{bmatrix} \in M_4
このとき \( A\overline{A} = \overline{A}A \)、かつ \( AA^T = A^T A \) が成り立つが、\( A \) は正規ではないことを示せ。
3.2.P36
\( A \in M_n \) が coninvolutory、すなわち \( A \) が非特異で \( A = \overline{A}^{-1} \) を満たすとする。(a) このとき \( A \) のジョルダン標準形は、\(\theta \in [0,2\pi)\) に対して \( J_k(e^{i\theta}) \) の形のブロック、あるいは \( | \lambda | \neq 0, | \lambda | \neq 1 \) のときの \( J_k(\lambda) \oplus J_k(1/\overline{\lambda}) \) の形のブロックの直和であることを説明せよ。(b) もし \( A \) が対角化可能なら、そのジョルダン標準形は、\(\theta_1, \ldots, \theta_n \in [0,2\pi)\) に対する \([e^{i\theta}]\) の形のブロック、または \( | \lambda | \neq 0, | \lambda | \neq 1 \) に対する \([ \lambda ] \oplus [1/\overline{\lambda}]\) の形のブロックの直和であることを説明せよ。
3.2.P37
行列 \( A \in M_n \) が半収束 (semiconvergent) であるとは、\(\lim_{k \to \infty} A^k\) が存在することをいう。(a) \( A \) が半収束であるのは、スペクトル半径 \( \rho(A) \leq 1 \) かつ \( | \lambda | = 1 \) となる固有値 \( \lambda \) が存在するならば、それが \( \lambda = 1 \) かつ半単純 (semisimple) である場合に限ることを説明せよ。(b) もし \( A \in M_n \) が半収束ならば、
\lim_{k \to \infty} A^k = I - (I - A)(I - A)^D
であることを示せ。
注と参考文献:
最適性の性質 (3.2.9.4) と等号成立の場合の特徴づけについては、R. Brualdi, P. Pei, and X. Zhan, An extremal sparsity property of the Jordan canonical form, Linear Algebra Appl. 429 (2008) 2367–2372 を参照。
問題 3.2.P21 は \( AB \) と \( BA \) の冪零ジョルダン構造が一致するとは限らないことを示すが、次の意味で大きく異なることはない。
すなわち、\( AB \) の冪零ジョルダンブロックの大きさを \( m_1 \geq m_2 \geq \cdots \)、\( BA \) の冪零ジョルダンブロックの大きさを \( n_1 \geq n_2 \geq \cdots \) とすると（必要なら零を補って長さを揃える）、任意の \( i \) に対して
|m_i - n_i| \leq 1
が成り立つ。
この議論と証明については、C. R. Johnson and E. Schreiner, The relationship between AB and BA, Amer. Math. Monthly 103 (1996) 578–582 を参照。
Weyr 特性を用いた全く異なる証明は、R. Lippert and G. Strang, The Jordan forms of AB and BA, Electron. J. Linear Algebra 18 (2009) 281–288 を参照。
問題 (3.2.P31) と (3.2.P32) における行列とその転置の相似性に関する議論は Ignat Domanov によるものであり、これら 2 つの問題の主張は P. Halmos, Eigenvectors and adjoints, Linear Algebra Appl. 4 (1971) 11–15 における定理 3 である。問題 3.2.P34 は G. Goodson による。
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