3.2.12.1
定義 3.2.12.1.
\( A \in M_n \) とする。次の形に表されると仮定する：
A = S \begin{bmatrix} B & 0 \\ 0 & N \end{bmatrix} S^{-1} \tag{3.2.12.2}
ここで \( S \) と \( B \) は正方かつ正則、\( N \) は冪零行列とする。もし \( A \) が冪零なら \( B \) は存在せず、もし \( A \) が正則なら \( N \) は存在しない。\( A \) のドレジン逆行列は次で与えられる：
A^D = S \begin{bmatrix} B^{-1} & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} S^{-1} \tag{3.2.12.3}
すべての \( A \in M_n \) は (3.2.12.2) の形に表すことができる。これはジョルダン標準形 (3.1.12) を用いればよく、そこでは \( B \) が \( A \) のすべての正則なジョルダンブロックの直和であり、\( N \) がすべての冪零ブロックの直和となる。
(3.2.12.2) に加えて、次の形に \( A \) を表すとする：
A = T \begin{bmatrix} C & 0 \\ 0 & \tilde{N} \end{bmatrix} T^{-1} \tag{3.2.12.4}
ここで \( T, C \) は正方かつ正則、\( \tilde{N} \) は冪零行列である。このとき
A^n = S \begin{bmatrix} B^n & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} S^{-1}
= T \begin{bmatrix} C^n & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} T^{-1}
したがって、rank \( A^n = \) rank \( B^n = \) rank \( B \) は、\( B \) が正則であるため \( B \) のサイズに等しい。同様の理由でこれは \( C \) のサイズにも等しい。よって \( B \) と \( C \) のサイズは同じであり、したがって \( N \) と \( \tilde{N} \) も同じサイズである。さらに次が成り立つ：
A = S \begin{bmatrix} B & 0 \\ 0 & N \end{bmatrix} S^{-1}
= T \begin{bmatrix} C & 0 \\ 0 & \tilde{N} \end{bmatrix} T^{-1}
よって、ある \( R = T^{-1}S \) が存在して
R \begin{bmatrix} B & 0 \\ 0 & N \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} C & 0 \\ 0 & \tilde{N} \end{bmatrix} R
となる。ここで \( R = [R_{ij}]_{i,j=1}^2 \) と分割すると (2.4.4.2) により \( R_{12} = 0 \), \( R_{21} = 0 \) が従う。したがって \( R = R_{11} \oplus R_{22} \)、\( R_{11}, R_{22} \) は正則であり、\( C = R_{11}BR_{11}^{-1}, \tilde{N} = R_{22}NR_{22}^{-1}, T = SR^{-1} \) が成り立つ。
最後に (3.2.12.4) を用いてドレジン逆行列を計算すると：
T \begin{bmatrix} C^{-1} & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} T^{-1}
= S \begin{bmatrix} B^{-1} & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} S^{-1} = A^D
したがって、ドレジン逆行列は (3.2.12.3) によってよく定義される。
練習問題. もし \( A \) が正則なら \( A^D = A^{-1} \) であることを説明せよ。
練習問題. ドレジン逆行列が一般化逆行列、すなわち任意の \( A \in M_n \) に対して \( A A^D A = A \) を満たすことを説明せよ。
0 の固有値の指数を \( q \) とし、次の3つの恒等式を考える：
AX = XA \tag{3.2.12.5}
A^{q+1}X = A^q \tag{3.2.12.6}
XAX = X \tag{3.2.12.7}
練習問題.
(3.2.12.2) と (3.2.12.3) を用いて、\( A \) と \( X = A^D \) が上記3つの恒等式を満たすことを説明せよ。ただしそれは \( A = \begin{bmatrix} B & 0 \\ 0 & N \end{bmatrix}, X = \begin{bmatrix} B^{-1} & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \) の場合に限ることを確認せよ。
さらに逆も成り立つ。すなわち、もし \( X \) が (3.2.12.5–7) を満たすなら \( X = A^D \) である。この主張を確認するため、前の練習問題と同様に \( A \) を \(\begin{bmatrix} B & 0 \\ 0 & N \end{bmatrix}\) に置き換え、未知の行列 \( X = [X_{ij}]_{i,j=1}^2 \) を分割する必要がある。ここで \( X_{11} = B^{-1}, X_{12} = X_{21} = X_{22} = 0 \) を示す。
(3.2.12.5) と (2.4.4.2) により \( X_{12} = 0, X_{21} = 0 \)、さらに \( NX_{22} = X_{22}N \) が従う。(3.2.12.6) より
\begin{bmatrix} B^{q+1} & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} X_{11} & 0 \\ 0 & X_{22} \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} B^q & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
となり、したがって \( B^{q+1}X_{11} = B^q \)、すなわち \( BX_{11} = I \)、ゆえに \( X_{11} = B^{-1} \) である。(3.2.12.7) は
X_{22} = X_{22}NX_{22} = N X_{22}^2 \tag{3.2.12.8}
を意味する。これにより \( N^{q-1}X_{22} = 0 \) が導かれる。さらに (3.2.12.8) を繰り返し用いることで \( N^{q-2}X_{22} = 0, \dots, NX_{22} = 0 \) が従い、最終的に \( X_{22} = 0 \) となる。
最後の観察として、ドレジン逆行列 \( A^D \) は \( A \) の多項式で表せる。
練習問題.
\( A \) を (3.2.12.2) の形に表せ。(2.4.3.4) によれば、多項式 \( p(t) \) が存在し、\( p(B^{q+1}) = (B^{q+1})^{-1} \) が成り立つ。\( g(t) = t^q p(t^{q+1}) \) とおくと、\( g(A) = A^D \) であることを確認せよ。
練習問題.
\( A \in M_n \) とし、\( \lambda \) が \( A \) の非零固有値とする。もし \( x \neq 0 \) かつ \( Ax = \lambda x \) ならば、\( A^D x = \lambda^{-1}x \) であることを説明せよ。
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