3.1.P7
3.1問題7
\(A \in M_n\)、\(\lambda\) を \(A\) の固有値、\(k \in \{1,\ldots,n\}\) とする。\(r_{k-1}(A,\lambda) - 2\,r_k(A,\lambda) + r_{k+1}(A,\lambda)\) が、固有値 \(\lambda\) をもち大きさ \(k\) のジョルダンブロックの個数に等しいことを説明せよ。
ヒント
\(r_k(A,\lambda)\) を \(r_k=\dim \ker (A-\lambda I)^k\) とおく。ジョルダン標準形においては、\((A-\lambda I)^k\) の核の次元は、各ジョルダンブロックごとに「\(\min(k,\text{ブロックの大きさ})\)」を足し合わせたものになる。この増え方の差分を考えると、特定の大きさのブロックの個数が取り出せる。
解答例
\(\lambda\) に対応するジョルダン標準形を考える。すなわち、\(A\) は相似変換により、\(\lambda\) に対応するジョルダンブロック \(J_{m_1}(\lambda),\ldots,J_{m_s}(\lambda)\) の直和に分解できるとする。
\(r_k=r_k(A,\lambda)=\dim \ker (A-\lambda I)^k\) とおく。相似変換は核の次元を保つので、ジョルダン標準形で計算してよい。
大きさ \(m\) のジョルダンブロック \(J_m(\lambda)\) に対しては、 \((J_m(\lambda)-\lambda I)^k\) の核の次元は \(\min(k,m)\) である。したがって
r_k
=
\sum_{i=1}^s \min(k,m_i)
である。
ここで差分 \(\Delta_k=r_k-r_{k-1}\) を考えると、
\Delta_k
=
\#\{\, i \mid m_i \ge k \,\}
すなわち「大きさが \(k\) 以上のジョルダンブロックの個数」である。
したがってさらに差分を取ると
\Delta_k - \Delta_{k+1}
=
(r_k-r_{k-1}) - (r_{k+1}-r_k)
=
r_{k-1} - 2r_k + r_{k+1}
となる。
一方、 \(\Delta_k - \Delta_{k+1}\) は 「大きさが \(k\) 以上のブロックの個数」から 「大きさが \(k+1\) 以上のブロックの個数」を引いたものであるから、ちょうど 「大きさが正確に \(k\) のジョルダンブロックの個数」 に等しい。
ゆえに
r_{k-1}(A,\lambda)
- 2r_k(A,\lambda)
+ r_{k+1}(A,\lambda)
は、固有値 \(\lambda\) をもち大きさ \(k\) のジョルダンブロックの個数に等しい。
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