[行列解析0.8.3]クラメルの公式

0.8.3 クラメルの公式（Cramer’s Rule）

クラメルの公式は、\( A \in M_n(F) \) が正則であるとき、連立一次方程式 \( Ax = b \) の解ベクトルの特定の成分を解析的に表現する便利な方法です。

次の恒等式は (0.8.2.9) から従います：

\left( \det(A \leftarrow_i b) \right)_{i=1}^n = A\, (\mathrm{adj}\, A)\, b = (\det A)\, b

このとき、\( \det A \ne 0 \) であれば、クラメルの公式により、解ベクトル \( x \) の第 \( i \) 成分 \( x_i \) は次のように表されます：

x_i = \frac{\det(A \leftarrow_i b)}{\det A}

クラメルの公式はまた、行列式の乗法性からも直接導くことができます。すなわち、連立方程式 \( Ax = b \) を次のように書き換えます：

A (I \leftarrow_i x) = A \leftarrow_i b

この両辺の行列式を取ると（行列式の乗法性を用いて）次のようになります：

(\det A)\, \det(I \leftarrow_i x) = \det(A \leftarrow_i b)

ここで、\( \det(I \leftarrow_i x) = x_i \) なので、クラメルの公式が導かれます。