[行列解析0.4.6]ランク計算する時に使用する重要公式(等式編)

0.4.6 ランクの等式

ランクに関する基本的な等式には、以下のようなものがあります：

0.4.4 ランクの特徴づけとあわせてランク計算で使用されます。

もし \( A \in M_{m,n}(\mathbb{C}) \) であれば、次が成り立ちます：

\operatorname{rank}(A^*) = \operatorname{rank}(A^T) = \operatorname{rank}(\overline{A}) = \operatorname{rank}(A)

もし \( A \in M_m(F) \)、\( C \in M_n(F) \) が正則（可逆）行列で、\( B \in M_{m,n}(F) \) であれば、

\operatorname{rank}(AB) = \operatorname{rank}(B) = \operatorname{rank}(BC) = \operatorname{rank}(ABC)

つまり、正則行列による左右からの乗算はランクを変えません。

もし \( A, B \in M_{m,n}(F) \) であれば、次が成り立ちます：

\( \operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(B) \) であることと、

正則行列 \( X \in M_m(F) \)、\( Y \in M_n(F) \) が存在して \( B = XAY \) を満たすことは同値です。

もし \( A \in M_{m,n}(\mathbb{C}) \) であれば、

\operatorname{rank}(A^* A) = \operatorname{rank}(A)

もし \( A \in M_{m,n}(F) \) で、\(\operatorname{rank}(A) = k\) ならば、次のように分解できます：

A = XY^T

ただし、\( X \in M_{m,k}(F) \)、\( Y \in M_{n,k}(F) \) はそれぞれ列ベクトルが一次独立です。

また、同値な形として、ある正則行列 \( B \in M_k(F) \) を用いて、

A = XBY^T

と表すことも有用です。特に、

\( \operatorname{rank}(A) = 1 \) であることと、あるゼロでないベクトル \( x \in F^m \)、\( y \in F^n \) に対して

A = xy^T

と書けることは同値です。

もし \( A \in M_{m,n}(F) \)、\( \operatorname{rank}(A) = k \) であれば、正則行列 \( S \in M_m(F) \)、\( T \in M_n(F) \) が存在して、

A = S \begin{bmatrix} I_k & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} T

と表されます。

行列\(A \in M_{mn}\)に行基本変形、列基本変形を使うと、正則行列\(S \in M_m, T \in M_n\),\(k=\text{rank} A\)によって次の形に表す事ができる。

A=S \begin{bmatrix} I_k & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} T \\ \;\\ \overline{A}=\overline{S} \begin{bmatrix} I_k & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \overline{T} \\ \;\\ A^{\top}=T^{\top} \begin{bmatrix} I_k & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}^{\top} S^{\top} \\ \;\\ A^*=T^* \begin{bmatrix} I_k & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}^* S^* \\

\( A \in M_{m,n}(F) \)、\( X \in M_{n,k}(F) \)、\( Y \in M_{m,k}(F) \) に対して、

\( W = Y^T A X \) が正則ならば、

\operatorname{rank}(A - A X W^{-1} Y^T A) = \operatorname{rank}(A) - \operatorname{rank}(A X W^{-1} Y^T A)

特に \( k = 1 \) のとき、これはウェダーバーンのランク1削減公式（Wedderburn’s rank-one reduction formula）となります：

もし \( x \in F^n \)、\( y \in F^m \)、\( \omega = y^T A x \ne 0 \) ならば、

\operatorname{rank}\left( A - \omega^{-1} A x y^T A \right) = \operatorname{rank}(A) - 1

逆に、ある \( \sigma \in F \)、\( u \in F^n \)、\( v \in F^m \) に対して

\operatorname{rank}(A - \sigma u v^T) < \operatorname{rank}(A)

であるならば、

\operatorname{rank}(A - \sigma u v^T) = \operatorname{rank}(A) - 1

であり、ある \( x \in F^n \)、\( y \in F^m \) が存在して、

u = A x, \quad v = A^T y, \quad y^T A x \ne 0, \quad \sigma = (y^T A x)^{-1}

が成り立ちます。