[行列解析0.4.4]行列のランク(rank､階数)の特徴づけ

(a) ランク \( \operatorname{rank} A = k \)。

(b) \( A \) の行の中で線形独立なものは最大で \( k \) 行である。

(c) \( A \) の列の中で線形独立なものは最大で \( k \) 列である。

(d) \( A \) のある \( k \times k \) 部分行列の行列式はゼロでないが、すべての \( (k+1) \times (k+1) \) 部分行列の行列式はゼロである。

(e) \( \dim (\operatorname{range} A) = k \)。

(f) 線形系 \( Ax = b_j \) が解を持つような線形独立なベクトル \( b_1, \dots, b_k \) が \( k \) 個存在し、それ以上は存在しない。

(g) ランク・ヌルリティの定理より、\( k = n - \dim(\operatorname{nullspace} A) \)。

(h) ある \( X \in M_{m,p}(F) \), \( Y \in M_{n,p}(F) \) が存在して、\( A = XY^{\top} \) と表せる最小の \( p \) が \( k \) である。

(i) ある \( x_1, \dots, x_p \in F^m \), \( y_1, \dots, y_p \in F^n \) が存在して、\(A = x_1 y_1^{\top} + \cdots + x_p y_p^{\top} \)と表せる最小の \( p \) が \( k \) である。