0.4.3 RREF とランク
初等行操作は行列のランクを変えないため、\( A \) のランクは \( A \) の簡約階段行列（RREF）のランクと同じです。
RREF のランクは非ゼロ行の数に等しいです。
ただし、実務上、数値計算でRREFを求めてランクを判定するのは注意が必要です。中間計算での丸め誤差により、ゼロ行が非ゼロ行と誤認され、ランクの判定に影響を及ぼすことがあります。
RREF（簡約行階段形）とは
RREFは、連立一次方程式を解くために用いられる、行列を操作して得られる標準的な形の一つです。
任意の行列を、行基本変形と呼ばれる操作を有限回行うことによって、RREFに変換することができます。この変換された形から、もとの連立方程式の解を容易に求めることができます。
RREFの満たすべき条件
行列 \(A\) がRREFであるためには、以下の4つの条件をすべて満たす必要があります。
行基本変形（Row Operations）
行列をRREFに変換するために使用する、可逆な操作は以下の3つです。
- 行の入れ替え (\(R_i \leftrightarrow R_j\)): 任意の2つの行 \(i\) と \(j\) を入れ替える。
- 定数倍 (\(k R_i \to R_i\)): ある行 \(i\) を、ゼロではないスカラー \(k\) 倍する。
- 他の行の定数倍を加える (\(R_i + k R_j \to R_i\)): ある行 \(j\) のスカラー \(k\) 倍を別の行 \(i\) に加える。
RREFの例
例 1: RREFである行列
以下の行列 \(A\) はRREFです。
A =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 5 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}すべての主成分が 1 で、その上下の成分が 0 であり、ゼロ行が一番下にあり、階段状になっています。
例 2: RREFではない行列（主成分が1でない）
以下の行列 B はRREFではありません。
（2行目の主成分が 2 のためRREFではない。）
B =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}例 3: RREFではない行列（主成分の列に0以外の成分がある）
以下の行列 C はRREFではありません。
（2列目（主成分の列）に 5 があるためRREFではない）
C =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 3 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 5 & 0
\end{bmatrix}
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