量子力学の本に載っている問題を解いてみた。
ダブルデルタ関数ポテンシャルを具体的な例題として取り上げ、正のエネルギーをもつ散乱状態における確率流の関係と、負のエネルギーをもつ偶対称・奇対称な束縛状態が存在する条件を完全解説する。計算過程を省略せず、数式の意味と物理的解釈が対応するよう丁寧に説明する。
問題
ポテンシャルが
V(x)=\frac{\hbar^2}{2m}u \left[\delta(x+\frac{a}{2})+\delta(x-\frac{a}{2}) \right] \;\\
\qquad \\ a>0,\;u\neq 0, \; δ(x):\text{デルタ関数}
で与えられる 1 次元量子系について考える。
(1)正のエネルギー固有値ををもつ状態
k=\sqrt{ \frac{2mE}{ \hbar ^2}}
として各領域での確率の流れの密度を求め、それらの間の関係を議論せよ。
ただし,\(x\)の正方向からの入射波は存在しないものとし、\(x\)の負方向からの入射波の係数が1になるように規格化せよ。
(2)負のエネルギー固有値をもつ状態
波動関数が対称性
φ_+(x) = φ(-x) \\ または、\\ φ_-(x) = -φ(-x)
をもつ束縛状態が存在するための条件を求めよ。
問題の解説
ここでいう波動関数とは、以下に示すシュレディンガー方程式の解の事である。
シュレディンガー方程式は、1次元のもので次の2階微分方程式として表される。
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} \psi(x)+V(x) \psi(x) =E \psi(x) このシュレディンガー方程式は、演算子記号を使うと下記のように書くことができる。
\left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} +V(x) \right] \psi(x) =E \psi(x)この形をみると、エネルギー \(E\)と波動関数 \(\psi(x)\)は、演算子\( \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} +V(x) \right] \)に対する固有値と固有関数とみなすことができる。
問題(1)は、エネルギー\(E\)が正の場合の時であり、問題(2)はエネルギー\(E\)が負の場合の時の問題である。
なにはともあれ、まず波動関数を求めることが本問題を解くためには必要なこととなる。
さて波動関数を具体的にどのような関数であるのか調べるために、\(x\)の領域を下記の３つに分割する。
\text{I}: x<-a/2,\quad
\text{II}: -a/2<x<a/2,\quad
\text{III}: x>a/2
それぞれの領域I、II、IIIにおいては\(V(x)=0\)であるので、各領域においての波動関数は、微分方程式
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} \psi(x) =E \psi(x)の解となる。
\(E\)が正とするとこの２階微分方程式の一般解は、
Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\\
A,Bは積分定数であることが知られている。
解答例
(1) 正のエネルギー固有値（散乱状態）
k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}
波動関数
３つの領域に分割して考える。
\text{I}: x<-a/2,\quad
\text{II}: -a/2<x<a/2,\quad
\text{III}: x>a/2
負方向（左）からのみ入射があり，その係数を 1 に規格化すると波動関数は、
\psi(x)=
\begin{cases}
e^{ikx}+R e^{-ikx}, & x<-a/2,\\
A e^{ikx}+B e^{-ikx}, & -a/2<x<a/2,\\
T e^{ikx}, & x>a/2
\end{cases}
と表すことができる。
確率流密度
j=\frac{\hbar}{m}\,\mathrm{Im}\!\left(\psi^*\frac{d\psi}{dx}\right)
平面波 \(Ce^{\pm ikx}\) に対して
j=\pm\frac{\hbar k}{m}|C|^2
となる。したがって各領域で確率密度を計算すると、
\begin{aligned}
j_{\mathrm{I}} &= \frac{\hbar k}{m}(1-|R|^2),\\
j_{\mathrm{II}} &= \frac{\hbar k}{m}(|A|^2-|B|^2),\\
j_{\mathrm{III}} &= \frac{\hbar k}{m}|T|^2
\end{aligned}
となる。
確率流の保存
j_{\mathrm{I}}=j_{\mathrm{II}}=j_{\mathrm{III}}
よって
|R|^2+|T|^2=1
(2) 負のエネルギー固有値（束縛状態）
E=-\frac{\hbar^2\kappa^2}{2m},\qquad \kappa>0
ポテンシャルは偶関数であるため，波動関数は偶対称または奇対称に分類できる。
デルタ関数の位置 \(x_0=\pm a/2\) における接続条件は
\psi'(x_0+0)-\psi'(x_0-0)=u\,\psi(x_0)
(a) 偶対称束縛状態
\phi_+(x)=\phi_+(-x)
中央領域では
\phi_+(x)=A\cosh(\kappa x)
となり，接続条件から
\kappa=\frac{u}{2}\left(1+e^{-\kappa a}\right)
を満たすとき，偶対称束縛状態が存在する。
(b) 奇対称束縛状態
\phi_-(x)=-\phi_-(-x)
中央領域では
\phi_-(x)=A\sinh(\kappa x)
接続条件より
\kappa=\frac{u}{2}\left(1-e^{-\kappa a}\right)
を満たすとき，奇対称束縛状態が存在する。
まとめ
散乱状態では確率流は保存され，\(|R|^2+|T|^2=1\) が成り立つ。 束縛状態は偶対称・奇対称の 2 種類に分類され， それぞれ対応する条件式を満たす場合に存在する。
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