[行列解析8.4.P26]

8.4.問題26
- 問題 8.4.P26
行列解析の総本山

8.4.問題26

問題 8.4.P26

\( A \in M_n \) を非負行列とし、\( x = [x_i], y = [y_i] \) をそれぞれ右・左ペロンベクトルとする。すなわち、 \( Ax = \rho(A)x \)、\( y^T A = \rho(A) y^T \) を満たす。次を示せ。

\( A \) が既約であることと、主小行列式がすべて非零であること、または \(\operatorname{adj}(\rho(A)I - A) = cxy^T > 0\) であることが同値である。

(a) \( A \) が既約ならば、(8.4.4) より \( \rho(A) \) は単純固有値であり、\( x, y \) は正である。したがって \(\operatorname{adj}(\rho(A)I - A) = cxy^T\) は非負かつ非零であり、主対角成分 \( cx_1y_1, \ldots, cx_ny_n \) はすべて非零で正である。よって \( c > 0 \) であり、\(\operatorname{adj}(\rho(A)I - A) > 0\) が成り立つ。

(b) 逆に、主小行列式がすべて非零ならば、\(\rho(A)\) は単純固有値であり、 \(\operatorname{adj}(\rho(A)I - A) = cxy^T\) は正の主対角を持つ。
したがって \( x, y, c \) はすべて正であり、問題 (8.3.P7) より \( A \) は既約である。