8.4.問題25
問題 8.4.P25
行列 \( A_1 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \) は、(8.2.P13)の結果が非正行列には必ずしも成り立たないことを示す。
\(\lim_{m \to \infty} (\operatorname{tr} A_1^m)^{1/m}\) は存在しないが、\(\limsup_{m \to \infty} (\operatorname{tr} A_1^m)^{1/m} = 1 = \rho(A_1)\) である。
以下の手順を示し、この極限が任意の非負行列 \( A \) に対して成り立つことを確認せよ。
(a) もし \( \rho(A) = 0 \) なら、\(\lim_{m \to \infty} (\operatorname{tr} A^m)^{1/m} = \rho(A)\) であることを示せ。
(b) \( \rho(A) > 0 \) の場合、固有値を \( \lambda_i \)、特異値を \( \sigma_i \) とするとき、
\operatorname{tr}(A^m) = \left|\sum_{i=1}^n \lambda_i(A^m)\right|
\le \left|\sum_{i=1}^n \sigma_i(A^m)\right|
= \|A^m\|_{\text{tr}}
ここで \(\|\cdot\|_{\text{tr}}\) はトレースノルムである。したがって、
\limsup_{m \to \infty} (\operatorname{tr} A^m)^{1/m}
\le \limsup_{m \to \infty} \|A^m\|_{\text{tr}}^{1/m}
= \rho(A)
(c) \( A \) の既約正規形 (8.3.6) を考え、対角ブロックのうち \(\rho(A_i) = \rho(A)\) となるブロックを \( A_{i_1}, \ldots, A_{i_g} \) とする。 各 \( A_{i_\ell} \) に対し、モジュラス \(\rho(A)\) の固有値が \( k_\ell \) 個存在するならば、 (8.4.6) より \(\rho(A)^{p k_\ell}\) が \( A_{i_\ell}^{p k_\ell} \) の固有値であり、他の固有値はそれより小さいモジュラスを持つ。 したがって、
\operatorname{tr}(A_{i_\ell}^{p k_\ell})
= \rho(A)^{p k_\ell} (k_\ell + o(1))
\quad (p \to \infty)
これを利用して、正整数列 \( m_j \to \infty \) を構成し、
\operatorname{tr}(A_{i_1}^{m_j}) + \cdots + \operatorname{tr}(A_{i_g}^{m_j})
= (k_1 + \cdots + k_g + o(1)) \rho(A)^{m_j}
(d) よって、 \(\operatorname{tr}(A^{m_j}) \ge (k_1 + \cdots + k_g + o(1)) \rho(A)^{m_j}\) である。
(e) 任意の \( \varepsilon \in (0, 1/2) \) に対し、
\limsup_{m \to \infty} (\operatorname{tr} A^m)^{1/m}
\ge \lim_{m \to \infty} (k_1 + \cdots + k_g - \varepsilon)^{1/m} \rho(A)
したがって最終的に次が成り立つ。
\limsup_{m \to \infty} (\operatorname{tr} A^m)^{1/m} = \rho(A)
\quad \text{(8.4.9)}
行列解析の総本山
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