[行列解析8.4.P17]

8.4.問題17

\( A \in M_n \) を非負行列とする。

最小二乗の意味で \( A \) に最も近いランク1行列（最良ランク1近似）を求める問題を考える。すなわち、\( A A^T \) または \( A^T A \) が既約であるとき、次を満たす \( X \in M_n \) を求めよ：

\|A - X\|_2 = \min \{ \|A - Y\|_2 : Y \in M_n, \, \mathrm{rank}(Y) = 1 \}

このような \( X \) は非負で一意であり、次式で与えられることを示せ：

X = \rho(A A^T) v w^T

ここで \( v, w \in \mathbb{R}^n \) は、固有値 \( \rho(A A^T) \) に対応する \( A A^T \) および \( A^T A \) の正の単位固有ベクトルである。