8.4.5 定理：非負既約行列と複素行列の関係
定理 8.4.5 \( A, B \in M_n \) とする。\( A \) が非負かつ既約であり、さらに \( A \ge |B| \) が成り立つと仮定する。\( \lambda = e^{i\phi}\rho(B) \) を \( B \) の最大絶対値の固有値とする。このとき、もし \( \rho(A) = \rho(B) \) ならば、ある対角ユニタリ行列 \( D \in M_n \) が存在して
B = e^{i\phi} D A D^{-1}
が成り立つ。
（証明）非零ベクトル \( x \) が存在して \( Bx = \lambda x \) を満たすとする。また \( \rho = \rho(A) = \rho(B) \) とおく。このとき、
\rho |x| = |\lambda x| = |Bx| \le |B||x| \quad (\alpha) \le A|x|
定理 8.3.5 と不等式 \( A|x| \ge \rho|x| \) から、\( A|x| = \rho|x| \) が成り立つ。また、定理 8.4.4 により \( |x| \) は正のベクトルである。さらに、不等式 (8.4.5a) における等号成立条件 (\( \alpha \)) から、
(A - |B|)x = 0
が得られる。\( x \) は正であり、かつ \( A - |B| \ge 0 \) なので、(8.1.1) より \( A = |B| \) が導かれる。
ここで、\( x = D|x| \) を満たす唯一の対角ユニタリ行列 \( D \) を考える。このとき、
Bx = \lambda x = e^{i\phi} \rho x
が成り立つ。これは同値的に
B D |x| = e^{i\phi} \rho D |x|
と書ける。したがって、
e^{-i\phi} D^{-1} B D x = \rho |x| = A|x| = |B||x|
と変形できる。ここで \( C = e^{-i\phi} D^{-1} B D \) とおくと、\( C|x| = |C||x| \) が成り立つ。ゆえに (8.1.8(c)) より
C = |C| = |B| = A
が成立する。したがって、結論として
B = e^{i\phi} D A D^{-1}
が得られる。□
もし \( A \) が正行列であれば、ペロンの定理により \( \rho(A) \) は最大絶対値をもつ唯一の固有値である。しかし、\( A \) が非負ではあるが正でない場合、\( \rho(A) \) 以外にも最大絶対値の固有値をもつことがある。ただし、もし \( A \) が既約でもあるならば、これらの固有値（実際にはすべての固有値）は一定の規則的なパターンで現れる。
行列解析の総本山
コメント