[行列解析8.4.1]補題：非負行列の既約性と ((I + A)^{n-1}) の正値性

8.4.1 補題：非負行列の既約性と \((I + A)^{n-1}\) の正値性

非負行列 \( A \in M_n \) について、次のことが成り立つ。

A \text{ が既約である} \ \Longleftrightarrow\ (I + A)^{n-1} \gt 0

すなわち、行列 \( A \) が既約であることと、\((I + A)^{n-1}\) のすべての成分が正であることは同値である。

（演習）\( A \in M_n \) が既約であることと、その転置 \( A^T \) が既約であることが同値である理由を説明せよ。

また、後の議論のために、次の2つの補題も必要となる。