[行列解析8.2.P11]

8.2.問題11
- 8.2.P11
行列解析の総本山

8.2.問題11

8.2.P11

\( A \in M_n \) を正の行列とし、そのスペクトル半径を \( \rho(A) \)、ペロンベクトルを \( x = [x_i] \)、左ペロンベクトルを \( y \) とする。すなわち、\( Ax = \rho(A)x \)、\( y^T A = \rho(A)y^T \) が成り立つとする。ペロン固有値 \( \rho(A) \) の幾何的重複度は1であることが知られている。次を定義する：

D = \mathrm{diag}(x_1, \ldots, x_n), \quad B = D^{-1} A D

そして、\( p_B(t) = p_A(t) \) を特性多項式とする。このとき、以下の論法により、(i) \( \rho(A) \) の代数的重複度が1であり、(ii) ある \( \gamma \gt 0 \) が存在して \( \mathrm{adj}(\rho(A)I - A) = \gamma xy^T \) が成り立つことを示せ。

(a) \( B \) は正の行列であり、\( A \) と同じ固有値をもつ。

(b) \( B \) の各行和はすべて \( \rho(A) = \rho(B) \) に等しい。

(d) \( p_B'(t) = \mathrm{tr}\, \mathrm{adj}(tI - B) = \sum_i p_{B_i}(t) \)、ここで \( B_i \) は \( B \) の主要小行列である。

(e) 各 \( B_i \) の行和は \( \rho(B) \) より小さいので、\( \rho(B_i) \lt \rho(B) \)。

(f) 各 \( p_{B_i}(t) \) の最大の実根は \( \rho(B_i) \) であり、\( t \to \infty \) のとき \( p_{B_i}(t) \to +\infty \) だから、\( p_{B_i}(\rho(B)) \gt 0 \)。

(g) よって \( p_B'(\rho(B)) \gt 0 \)。

(h) よって \( \mathrm{adj}(\rho(A)I - A) = \gamma xy^T \)。

(i) \( p_B'(\rho(B)) = \mathrm{tr}\, \mathrm{adj}(\rho(A)I - A) = \gamma y^T x \) なので \( \gamma \gt 0 \)。

(j) \( A \) の他の固有値を \( \lambda_2, \ldots, \lambda_n \) とすると、 \[ \gamma = \frac{(\rho(A) - \lambda_2)\cdots(\rho(A) - \lambda_n)}{y^T x} \] であり、したがって \( \gamma \gt 0 \) である。