[行列解析8.2.8]定理（ペロンの定理）：正行列のスペクトル半径と固有構造

8.2.8 定理（ペロンの定理）正行列のスペクトル半径と固有構造

\( A \in M_n \) が正行列であるとする。このとき、次の性質が成り立つ。

(a) \( \rho(A) \gt 0 \)

(b) \( \rho(A) \) は \( A \) の代数的に単純な固有値である（すなわち代数的重複度が 1 である）。

A x = \rho(A) x, \quad x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 1

を満たすものが一意に存在する。このベクトル \( x \) は正のベクトルである。

(d) 実ベクトル \( y = [y_i] \) であって

y^T A = \rho(A) y^T, \quad x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n = 1

を満たすものが一意に存在する。このベクトル \( y \) も正のベクトルである。

(e) \( A \) の任意の固有値 \( \lambda \) で \( \lambda \neq \rho(A) \) のものについて、

|\lambda| \lt \rho(A)

が成り立つ。

(f) \( m \to \infty \) のとき、次が成り立つ：

(\rho(A)^{-1} A)^m \to x y^T.

ここで \( x y^T \) は正の要素をもつ階数1の行列である。

ペロンの定理は、非常に多くの応用をもつ。たとえば、任意の複素正方行列に対して、固有値の包含集合を与えることができる。この包含集合は、支配的な非負行列のスペクトル半径と主対角成分によって決定される。